一、scipy.sparse中七種稀疏矩陣類型

1、bsr_matrix：分塊壓縮稀疏行格式

介紹

　　BSR矩陣中的inptr列表的第i個元素與i+1個元素是儲存第i行的數據的列索引以及數據的區間索引，即indices[indptr[i]:indptr[i+1]]為第i行元素的列索引，data[indptr[i]: indptr[i+1]]為第i行元素的data。

　　在下面的例子中，對於第0行，indptr[0]:indptr[1] -> 0:2，因此第0行的列為indice[0:2]=[0,2]，data為data[0:2]=array([[[1, 1],[1, 1]],[[2, 2],[2, 2]]])，對應的就是最后結果的第0,1行。

優點

　　和壓縮稀疏行格式(CSR)很相似，但是BSR更適合於有密集子矩陣的稀疏矩陣，分塊矩陣通常出現在向量值有限的離散元中，在這種情景下，比CSR和CSC算術操作更有效。

示例

indptr = np.array([0, 2, 3, 6])
indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]).repeat(4).reshape(6, 2, 2)
bsr_mat=bsr_matrix((data,indices,indptr), shape=(6, 6)).toarray()

輸出：
'''
[[1 1 0 0 2 2]
 [1 1 0 0 2 2]
 [0 0 0 0 3 3]
 [0 0 0 0 3 3]
 [4 4 5 5 6 6]
 [4 4 5 5 6 6]]
'''

2、coo_matrix是可以根據行和列索引進行data值的累加

介紹

　　坐標形式的一種稀疏矩陣。采用三個數組row、col和data保存非零元素的信息。這三個數組的長度相同，row保存元素的行，col保存元素的列，data保存元素的值。許多稀疏矩陣的數據都是采用這種格式保存在文件中的，例如某個CSV文件中可能有這樣三列：“用戶ID，商品ID，評價值”。采用numpy.loadtxt或pandas.read_csv將數據讀入之后，可以通過coo_matrix快速將其轉換成稀疏矩陣：矩陣的每行對應一位用戶，每列對應一件商品，而元素值為用戶對商品的評價。

優點

　　便利快捷的在不同稀疏格式間轉換；允許重復錄入，允許重復的元素；從CSR\CSC格式轉換非常快速。

缺點

　　不能直接進行科學計算和切片操作；不支持元素的存取和增刪，一旦創建之后，除了將之轉換成其它格式的矩陣，幾乎無法對其做任何操作和矩陣運算。

row  = np.array([0, 0, 1, 3, 1, 0, 0])
col  = np.array([0, 2, 1, 3, 1, 0, 0])
data = np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
coo_mat=coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4)).toarray()
輸出：
'''
[[3 0 1 0]
 [0 2 0 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 0 1]]
'''

3、csc_matrix

介紹

　　csc_matrix的初始化方法可以是bsr_matrix的初始化方法，也可以是coo_matrix的初始化方法

優缺點：

　　高效的CSC +CSC, CSC * CSC算術運算；高效的列切片操作。但是矩陣內積操作沒有CSR, BSR快；行切片操作慢（相比CSR）；稀疏結構的變化代價高（相比LIL 或者 DOK）。

row  = np.array([0, 0, 1, 3, 1, 0, 0])
col  = np.array([0, 2, 1, 3, 1, 0, 0])
data = np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
csc_mat=csc_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4)).toarray()
輸出：
'''
[[3 0 1 0]
 [0 2 0 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 0 1]]
'''

4、csr_matrix

介紹

　　csr_matrix的初始化與csc_matrix一致。

優缺點

　　高效的CSR + CSR, CSR *CSR算術運算；高效的行切片操作；高效的矩陣內積內積操作。但是列切片操作慢（相比CSC）；稀疏結構的變化代價高（相比LIL 或者 DOK）。CSR格式在存儲稀疏矩陣時非零元素平均使用的字節數(Bytes per Nonzero Entry)最為穩定（float類型約為8.5，double類型約為12.5）。CSR格式常用於讀入數據后進行稀疏矩陣計算。

row  = np.array([0, 0, 1, 3, 1, 0, 0])
col  = np.array([0, 2, 1, 3, 1, 0, 0])
data = np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
csr_mat=csr_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4)).toarray()
輸出：
'''
[[3 0 1 0]
 [0 2 0 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 0 1]]
'''

5、dia_matrix

介紹

　　data定義對角線元素，在這里是[1,2,3,4]。

　　offsets定義對角線的偏移量，0代表正對角線，正數代表往上偏移，負數代表往下偏移。

優缺點

　　對角存儲格式(DIA)和ELL格式在進行稀疏矩陣-矢量乘積(sparse matrix-vector products)時效率最高，所以它們是應用迭代法(如共軛梯度法)解稀疏線性系統最快的格式；DIA格式存儲數據的非零元素平均使用的字節數與矩陣類型有較大關系，適合於StructuredMesh結構的稀疏矩陣（float類型約為4.05，double類型約為8.10）。對於Unstructured Mesh以及Random Matrix，DIA格式使用的字節數是CSR格式的十幾倍。

data = np.array([[1, 2, 3, 4]]).repeat(3, axis=0)
offsets = np.array([0, -1, 2])
dia_mat=dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4)).toarray()
輸出：
'''
[[1 0 3 0]
 [1 2 0 4]
 [0 2 3 0]
 [0 0 3 4]]
'''

6、dok_matrix

介紹

　　dok_matrix從dict繼承，它采用字典保存矩陣中不為0的元素：字典的鍵是一個保存元素(行,列)信息的元組，其對應的值為矩陣中位於(行,列)中的元素值。

優缺點

　　顯然字典格式的稀疏矩陣很適合單個元素的添加、刪除和存取操作。通常用來逐漸添加非零元素，然后轉換成其它支持快速運算的格式。

S = dok_matrix((5, 5), dtype=np.int)
for i in range(5):
    for j in range(5):
        S[i, j] = i + j
輸出：
'''
[[0 1 2 3 4]
 [1 2 3 4 5]
 [2 3 4 5 6]
 [3 4 5 6 7]
 [4 5 6 7 8]]
'''

7、lil_matrix

介紹

　　基於行連接存儲的稀疏矩陣。lil_matrix使用兩個列表保存非零元素。data保存每行中的非零元素，rows保存非零元素所在的列。

優缺點

　　這種格式也很適合逐個添加元素，並且能快速獲取行相關的數據。

l = lil_matrix((6,5))
l[2,3] = 1
l[3,4] = 2
l[3,2] = 3
print (l.toarray())
print(l.data)
print(l.rows)

輸出
'''
[[0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 3. 0. 2.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]
[list([]) list([]) list([1.0]) list([3.0, 2.0]) list([]) list([])]
[list([]) list([]) list([3]) list([2, 4]) list([]) list([])]

二、scipy.sparse中的矩陣函數

　　下面我只列出比較有用的函數，其他的函數可以參見scipy.sparse官網。

構造函數

eye(m[, n, k, dtype, format])：對角線為1的稀疏矩陣
identity(n[, dtype, format])：單位矩陣
diags(diagonals[, offsets, shape, format, dtype])：構造對角矩陣（含偏移量）
spdiags(data, diags, m, n[, format])：從矩陣中返回含偏移量的對角稀疏矩陣
hstack(blocks[, format, dtype]) Stack sparse matrices horizontally (column wise) ：在豎直方向上堆疊
vstack(blocks[, format, dtype]) Stack sparse matrices vertically (row wise)：在水平方向上平鋪