留數

5. 留數

目錄

• 5. 留數
  • 5.1 孤立奇點
  • 5.2 留數
  • 5.3 留數在定積分計算中的應用
  • 5.4 復變函數奇點類型的判定

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首先說明一下為什么會有留數？

對於圖中的這樣一個積分路徑，由於內部區域不完全解析。所以根據柯西積分定理，我們可以將其轉化為下圖的積分路徑：

當通往奇點的兩條路線無限接近時，就可以得到下圖：

即對於大回路的積分等於對所有奇點的路徑的積分之和的相反數。即：

\[\oint_L = \oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-} \]

所以問題變成了如何求對於奇點的路徑的積分\(\oint_Lf(z)dz\)

由上一章的洛朗級數知，洛朗級數在冪次為-1項的系數為

\[c_{-1} = \frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{-1+1}}d\zeta = \frac1{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)d\zeta \]

由於這個系數很有用，所以專門稱復變函數在某一點的洛朗級數展開式的冪次為-1的項的系數為留數。記作\(\mathcal{Res}[f(z),z_0]\)

所以就可以提前給出留數定理，對於正向閉合路徑C，如果其所圍區域內除了有限個孤立奇點\(z_1,z_2,\cdots,z_k\)外處處解析，則有

\[\oint_Cf(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\mathcal{Res}[f(z),z_k] \]

所以留數定理本質上是對於柯西積分定理的應用。

5.1 孤立奇點

5.1.1 解析函數的孤立奇點及分類

若函數f(z)在\(z_0\)的鄰域內除\(z_0\)外處處解析，則稱\(z_0\)為f(z)的一個孤立奇點。

根據洛朗級數的定理，我們可以將f(z)展開成洛朗級數

\[f(z) =\cdots+ a_{-m}(z-z_0)^{-m} + \cdots+ a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots + a_n(z-z_0)^n,z\in D \]

• 如果上式中的負冪項系數均為零，若記剩下的冪級數的和函數為F(z)，則F(z)是在\(z_0\)處解析的函數。且當\(z\in D\)時，F(z)=f(z)，當\(z=z_0\)時，\(F(z) = a_0\)。於是令\(f(z_0) = a_0\)，所以f(z)在\(z_0\)處就是解析的了，所以點\(z_0\)被稱為可去奇點。
• 如果上式只有有限個\((z-z_0)\)的負冪項的系數不為零，那么孤立奇點\(z_0\)稱為函數f(z)的極點。如果負冪項的最高次冪為\((z-z_0)^{-m}\)，則稱\(z_0\)為函數f(z)的m階極點。
• 如果\((z-z_0)\)的負冪項系數有無窮多個不為零，那么孤立奇點\(z_0\)稱之為f(z)的本性奇點。

5.1.2 解析函數在有限孤立奇點的性質

定理：設函數f(z)在\(0<|z-z_0|<\delta\)內解析，則\(z_0\)是f(z)的可去奇點的充要條件為：存在着有限極限\(\lim_{z\rightarrow z_0}f(z)\).

定理：設函數f(z)在\(0<|z-z_0|<\delta\)內解析，則\(z_0\)是f(z)的極點的充要條件為：\(\lim_{z\rightarrow z_0}f(z) = \infty\).

定理：設函數f(z)在\(0<|z-z_0|<\delta\)內解析，則\(z_0\)是f(z)的本性奇點的充要條件為：不存在有限或無窮的極限\(\lim_{z\rightarrow z_0}f(z)\).

如\(e^{\frac1z}\)在z=0處為本性奇點，因為其展開成洛朗級數后有無窮多個負冪項不為0

5.1.3 函數的零點與極點的關系

設函數f(z)在\(z_0\)的鄰域\(N(z_0,\delta)=\{z:|z-z_0|<\delta \}\)內解析，並且\(f(z_0)=0\)，則點\(z_0\)稱為f(z)的一個零點。

m階零點

不恆等於零的解析函數f(z)如果能夠表示成\(f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)\)，其中\(\varphi(z)\)在\(z_0\)處解析且\(\varphi(z)\ne 0\)，m為某一正整數，則\(z_0\)為f(z)的m級零點。

定理：f(z)在點\(z_0\)處解析，則\(z_0\)是f(z)的m階零點的充要條件為：\(f(z_0) = f^{'}(z_0) = f^{(m-1)}(z_0) = 0,f^{m}(z_0)\ne 0\)

解析函數的零點與極點，有下面的關系

定理：\(z_0\)是f(z)的m階極點的充要條件是：\(z_0\)是\(\frac1{f(z)}\)的m階零點。

應當注意的是，我們在求函數的奇點時，決不能只看函數的表面形式就做出判斷，如函數\((\cos z-1)/z^4\)，看起來z=0是它的四階奇點，實際將cos z展開后是二階奇點。

例：判斷函數\(f(z) = \frac{\sin z}{z^2(1-e^z)}\)在\(z=0\)是幾階極點。

提示：將\(1-e^z\)和\(\sin z\)展開

5.1.4 解析函數在無窮孤立奇點的性質

若函數f(z)在域D：\(R<|z|<+\infty(R>0)\)內解析，則稱為\(z=\infty\)為f(z)的一個孤立奇點。

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5.2 留數

5.2.1 留數的定義和計算規則

定義：設函數f(z)在\(z_0\)點的去心鄰域內解析，\(z_0\)是f(z)的孤立奇點，則f(z)在孤立奇點\(z_0\)的留數定義為

\[\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz \]

記作\(Res[f(z),z_0]\)，C是包含在鄰域內的圍繞\(z_0\)的任何一條正向簡單閉曲線。留數的本質還是一個柯西積分。

若\(z=\infty\)是f(z)的孤立奇點，則定義在\(z=\infty\)處的留數為

\[Res[f(z),\infty] = -\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz \]

留數的計算定理：如果\(z_0\)是f(z)的m階極點，則

\[Res[f(z),z_0] = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z) \} \]

要求留數，即求洛朗級數的系數\(a_{-1}\)

推論：設\(f(z) = P(z)/Q(z)\)，\(P(z)\)及\(Q(z)\)在\(z_0\in C\)點解析，如果\(P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0,Q'(z)\ne0\)，那么\(z_0\)為\(f(z)\)的一階極點，且

\[\mathcal{Res}[f(z),z_0] = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} \]

若\(z_0\)是\(f(z)\)的本性奇點，則\(\mathcal{Res}[f(z),z_0] = a_{-1}\)。

若\(z=\infty\)是\(f(z)\)的孤立奇點，則

\[Res[f(z),\infty] = -Res[f(\frac1z)\frac1{z^2}, 0] \]

5.2.2 留數的基本定理

對於正向閉合路徑C，如果其所圍區域內除了有限個孤立奇點\(z_1,z_2,\cdots,z_k\)外處處解析，則有

\[\oint_Cf(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\mathcal{Res}[f(z),z_k] \]

推廣的留數基本定理：如果函數f(z)在擴充的復平面內只有有限個孤立奇點，那么f(z)在各孤立奇點（包括\(\infty\)點）的留數之和等於0。

利用該定理，當所求留數的區域內有多個極點時，可以直接求無窮遠處的留數值，則其他點的留數之和就等於無窮遠的留數值之和。

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5.3 留數在定積分計算中的應用

為了求實函數f(x)在實軸上或實軸上的某一線段I上的積分，我們在I上適當附加某一曲線使其構成一簡單閉曲線C，其內部為D，選取適當函數F(z)，然后在\(\overline D\)上對F(z)應用留數定理，就能把實軸上f(x)的積分轉換為F(z)在D內基地那的留數與附加曲線的積分。

5.3.1 形如\(\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)d\theta\)的積分

這類積分可以化為單位圓周上的復積分，設\(z = e^{i\theta}\)，則

\[\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}2 = \frac12(z+\frac1z)\\ \sin\theta = \frac1{2i}(z-\frac1z)\\ d\theta = \frac1{iz}dz \]

於是

\[\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)d\theta = \oint_{|z|=1}R(\frac1{2i}(z-\frac1z),\frac1{2}(z+\frac1z))\frac1{iz}dz \]

令

\[F(z) = \frac1{iz}R[\frac1{2i}(z-\frac1z),\frac12(z+\frac1z)] \]

則由留數的基本定理知

\[\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)d\theta = 2\pi i\sum^n_{k=1}Res[F(z),a_k] \]

5.3.2 形如\(\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx\)的積分

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母的次數至少比分子的次數高二次，並且R(x)在實軸上沒有奇點時。若設R(z)在上半平面\(Im\ z>0\)的極點為\(a_1,a_2,\cdots,a_p\)，則

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx = 2\pi i\sum_{k=1}^p\mathcal{Res}[R(z),a_k] \]

證明過程略

當\(R(x)\)為偶函數時，有

\[\int_0^{+\infty}R(x)dx = \pi i\sum_{k=1}^p\mathcal{Res}[R(z),a_k] \]

注意只考慮上半平面的極點。

5.3.3 形如\(\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx\)的積分

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母次數至少比分子的高一次，並且R(x)在實軸上沒有奇點時，積分是存在的。同樣，若設R(z)在上半平面內的極點為\(a_1,a_2.\cdots,a_p\)，則

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx = 2\pi i\sum_{k=1}^p\mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},a_k] \]

證明過程略。

5.3.4 它類

在前幾類積分中，都要求函數在實軸上無奇點，對不滿足這個條件的積分，往往適當改變積分路徑也可以使得積分可求。

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母次數至少比分子的高一次。設R(z)在實軸上除去有限多個一階極點\(x_1,x_2,\cdots,x_q\)外處處解析。在上半平面內除去有限多個奇點\(z_1,z_2,\cdots,z_p\)外處處解析，則積分存在且

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx = 2\pi i\sum_{k=1}^p\mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},z_k] + \pi i\sum^q_{k=1}\mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},x_k] \]

證明過程略

以上四種方法都是采用了圍道積分法，即將實函數的定積分轉化為解析函數沿閉合路徑的積分，然后運用留數定理轉化為留數的計算。

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5.4 復變函數奇點類型的判定

5.4.1 奇點類型的判斷

首先根據計算極限的方法判斷是三種奇點的哪一種。可去奇點的極限有限，本性奇點的極限不存在。大部分情況都是極點。

5.4.2 極點階數的判斷

1. 計算當分母乘上幾階的\(z\)后計算出來的極限不為\(\infty\)。如判斷下面這個函數的極點類型

   \[\frac{e^z\cdot\sin z}{z^2} \]

   則有

   \[\lim_{z\rightarrow0}z\cdot\frac{e^z\cdot\sin z}{z^2} = \lim_{z\rightarrow0}\frac{\sin z}z = 1\ne\infty \]

   上面的極限乘上一階\(z\)極限就不為\(\infty\)了，說明是一階極點。

2. 利用零點階數進行判斷

   前面講過零點和極點有這樣一個關系：

   函數\(f(z)\)在\(z_0\)的m階零點，就是函數\(\frac1{f(z)}\)在\(z_0\)處的m階極點。

   還有一點是分子上的零點階數或極點階數可以與分母上的“抵消”，還是上面那個例子。

   \(e^z\cdot\sin z\)在0處是1階零點，\(z^2\)在0處是2階零點。兩者抵消后\(z^2\)還有一階零點。

   現在\(z^2\)在分母，所以分母上有一階零點，說明整個函數有一階的極點。所以該函數在0處是一階極點。

其他類型函數的判斷

極限不存在的函數在\(z_0\)一定是本性奇點，但是極限為\(\infty\)不能完全判斷是極點還是本性奇點，這點尤其適用與非冪級數構成的函數。

如

\[e^{\frac z{1-z}} \]

在\(z=1\)時，極限為正無窮，但是不是極點。

因為，如果將函數按照

\[e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} \]

進行展開

\[e^{\frac z{1-z}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}\frac{z^n}{(1-z)^n} \]

所以在\(z=1\)處的負冪項系數是有無窮多個不為0的，所以是本性奇點。

所以對於不好判斷的函數，可以考慮將函數進行泰勒級數展開。

常見的泰勒展開有：

\[\begin{aligned} &e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\\ &\frac1{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty}z^n \\ &\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!} \end{aligned} \]

以及這些函數進行加減乘除、微分、積分運算得到的級數展開。

展開便可直接觀察負冪項系數的個數，那個才是判斷三種奇點類型的根本依據。

無窮遠點處奇點的判斷

對於無窮遠點處的奇點，通常不好直接判斷。可令

\[t = \frac1z \]

將t代入后就可以轉化為對\(g(t)\)在\(t=0\)處奇點的判斷。

如判斷下列函數在無窮遠點的性質

\[\frac{z^6}{(z^2-3)^2\cos\frac1{z-2}} \]

有時候需要進行泰勒級數的展開，如

\[\frac1{e^z-1}-\frac1z=\frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}=\frac{-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n!}}{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n+1}}{n!}} = -\frac12 \]

自變量為函數的復變函數

求下面函數在復平面的奇點

\[\sin\left[\frac1{\sin\frac1z} \right] \]

對於這樣的復雜的函數，可以令

\[\omega = \sin\frac1z \]

然后只要分析函數\(\sin\frac1z\)，該函數只有在\(z=0\)一個本性奇點。所以使

\[\sin\frac1z = 0 \]

的奇點均為本性奇點，which are \(z = \frac1{k\pi}\)