該系列為DR_CAN Advanced控制理論視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
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1 一維的例子
一個簡單的例子：注意平衡點與穩定點的區別：
另一個例子，這里並不是標准的相圖，因為 \(x-\cos x\) 不好畫，因此圖中單獨繪制了兩條曲線，分析其差值即可：
2 二維的例子
2.1 特征值為實數
令 \(b=c=0\) 求其平衡點：
三種特殊情況，三個點分別叫source、saddle、sink：
以上是三種特殊情況，下面是一般形式的分析，首先回顧如何通過特征值與特征向量求解微分方程組：
計算實際例子，這里我們用特征值與特征向量求解這個微分方程組。需要注意的是這里的y和系統輸出y不是一個y。通過分析y的相圖我們可以得到y的性質，而向量x與y為線性變換的關系，實際上把基變換到了特征向量上。這樣我們可以通過繪制出特征向量來進一步繪制出x的相圖：
我們發現x與y的性質是相同的，也就是說我們可以通過分析A矩陣的特征值來分析系統的穩定性。
2.2 特征值為復數
2.2.1 特征值為純虛數
某些矩陣可能沒有實特征值，而復特征值對應的特征向量是沒有方向的。這時我們求出先根據特征向量求出 \(x_1\) \(x_2\) 的值，然后通過歐拉公式展開成三角函數形式。考慮到當線性微分方程的解是由兩個項相加而成時，每一個項單獨拿出來都是微分方程的解。因此我們可以我們去掉復數部分，可以得到 \(x_1\) \(x_2\) 滿足一個橢圓的方程，也就是說在特征值是純虛數的情況下系統的相圖是一個橢圓：
至於橢圓的方向我們可以任取一個特殊位置來判斷：
我們發現在這種情況下 \(x_1\) \(x_2\) 的變化是一個循環往復的情況。
2.2.2 特征值同時含有實部虛部
這里特征值既包含實部也包含虛部，寫出向量y的表達式，由於x與y的性質是相同的因此這里不再像上一個例子那樣求向量 \(x_1\) \(x_2\) 的值了。根據上一個例子我們知道 \(e^{2it}\) 與 \(e^{-2it}\) 在相圖中表示為圓，而 \(e^t\) 意味着隨時間的增加而不斷增大，因此該相圖應為向外的螺旋線。同樣的，螺旋方向也可以根據上一個例子中的方法，即選取特殊點來判斷：
3 總結
