\(n\)維超立方體的體積很簡單，即邊\(s\)的\(n\)次方：\(s^n\)。
那\(n\)維超球的體積又是怎么樣的呢？
首先，我們定義一些概念。圓周是2維圓盤的1維邊界（界限）。球面是3維球體的2維表面（界限）。超球面（n維球面）和超球（n維球體）可以有不同的維數。普通的球面是2維球面。普通球體是3維球體。圓周也可以被稱為1維球面。圓盤也可以被叫作2維球體。
\(n\)維容量是幾何形體的\(n\)維“體積”。比如：
圓周的1維容量是它的周長，圓盤的2維容量是它的面積，
球面（2維）的2維容量是它的表面積，球體（3維）的3維容量是它的體積，
3維超球面的3維容量是它的超表面積，4維超球體的4維容量是它的4維超體積。
下面的表格顯示出不同維度的超球體的\(n\)維容量（體積）和它們對應的超球面的邊界（\(n-1\)維）容量（超表面積）：
| 維度 | 整體形 | 整體形n維容量（“體積”） | 邊界形 | 邊界形n-1維容量（“表面積”） |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 圓盤 (2維) | πr 2 | 圓周 (1維) | 2πr |
| 3 | 球體 (3維) | (4/3)π r 3 | 球面 (2維) | 4π r2 |
| 4 | 4維超球體 | (1/2)π2r4 | 3維超球面 | 2π2r3 |
| 5 | 5維超球體 | (8/15)π2r5 | 4維超球面 | (8/3)π2r4 |
| 6 | 6維超球體 | (1/6)π3r6 | 5維超球面 | π3r5 |
| 7 | 7維超球體 | (16/105)π3r7 | 6維超球面 | (16/15)π3r6 |
\[\frac{1}{(n/2)!}\pi^{n/2}r^n \]
當\(n\)為奇數：
\[\frac{2^n((n-1)/2)!}{n!}\pi^{(n-1)/2}r^n \quad \text{或}\quad \frac{2^{(n+1)/2}}{n!!}\pi^{(n-1)/2}r^n \]
這里\(n! = n(n-1)(n-2)\cdots\)(階乘)，\(n!! = n(n-2)(n-4)\cdots\)(雙階乘)。
一般的，\(n\)維超球體的邊界表面積（\(n-1\)維容量）等於“體積”（\(n\)維容量）乘以(\(n/r\))。其實你可以通過\(n\)維超球的“體積”（\(n\)維容量）對半徑求導數得到它的超表面積（\(n-1\)維容量）。同樣對\(n\)維超球對應的邊界形的表面積（\(n-1\)維容量）對\(r\)在（\(0,r\)）上求積分可以得到\(n\)維超球的體積。