一、基本定義與概念
隨機變量：
令$(\Omega , \mathcal{F} , P)$是完備概率空間，隨機變量$X: \Omega \rightarrow \textbf{R}^n$是一個$\mathcal{F}-$的一個可測映照。所有隨機變量滿足概率測度：
\begin{equation}
\mu_X(B)=P(X^{-1}(B))
\end{equation}
其中$\mu_X$稱為隨機變量$X$的分布
隨機過程：
隨機過程是一組定義在概率空間$(\Omega , \mathcal{F} , P)$上的隨機變量$\{X_t\}_{t\in T}$的參數化集合,取值在$\textbf{R}^n$中，$ T\in \left[ 0, \infty \right )$
固定$t\in T$我們可以得到隨機變量：
\begin{equation}
\omega \to X_t(\omega); \qquad \omega \in \Omega
\end{equation}
固定$\omega \in \Omega$我們可以得到函數：
\begin{equation}
t \to X_t(\omega); \qquad t \in T
\end{equation}
稱它為$X_t$的軌道.
我們認為$t$是時間，每一個$\omega$是一個獨立的試驗，$X_t(\omega)$代表在時間$t$時刻試驗$\omega$的結果，寫成二元函數的形式為$X(t,\omega)$。因此我們經常將隨機過程看作兩個變量的函數：
\begin{equation}
(t,\omega) \to X(t,\omega)\quad T\times \Omega \to \textbf{R}^n
\end{equation}
也可以說，隨機過程是可測空間$((\textbf{R}^n)^T,\mathcal{B})$上的概率測度
其中$\sigma$-代數$\mathcal{B}$由集合$\{\omega;\omega(t_1) \ in F_1,\cdots,\omega(t_k)\in F_k\}$生成，$F_i\subset \textbf{R}^n$中的Borel集
隨機過程的有限維分布表示為：
\begin{equation}
\mu_{t_1,t_2,\cdots,t_k}(F_1\times F_2\times \cdots\times F_k)=P(X_{t_1}\in F_1,\cdots,X_{t_k} \in F_k); t_i \in T
\end{equation}$F_1,...,F_k$表示$\textbf{R}^n$中的Borel集
由kolmogorov相容性定理，給出一族概率測度滿足相容性條件時，可構造一個隨機過程，使其有限維分布滿足這一族概率測度.
布朗運動：
布朗運動最早是在1828年由蘇格蘭植物學家發現觀察到花粉顆粒的一種不規則運動。這一運動后來被解釋為液體分子的隨機碰撞。用隨機過程$B_t(\omega)$來描述花粉粒$\omega$在時間$t$處的位置。
由 Kolmogorov 存在定理, 指定一族概率測度 $ {V_{_{t_{1}},...,t_{k}}} $,滿足相容性條件。這一族概率測度與觀察到的花粉的行為一致,就可以構造隨機過程$ \{B_{t}\}_{t\geq0} $
固定$ x\in \textbf{R}^{n} $,定義:
\begin{equation}
p(t,x,y)=((2\pi t)^{-n/2})exp(-\dfrac{|x-y|^2}{2t}),\qquad y\in \textbf{R}^{n},t>0
\end{equation}
如果$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq t_{k} $,定義$ \textbf{R}^{nk} $上的一個測度：
\begin{equation}
v_{{t_{1}},...,t_{k}}(F_{1}\times ...\times F_{k} )\\
=\int_{F_{1}\times ...\times F_{k} }^{} p(t_{1},x,x_{1})p(t_{2}-t_{1},x_{1},x_{2})...p(t_{k}-t_{k-1},x_{k-1},x_{k})dx_{1}\cdots dx_{k},
\end{equation}
我們用符號$ dy=dy_{1}\cdots dy_{k} $表示 Lebesgue 測度, $ p(0,x,y)dy=\delta _{x}(y) $表示在$ x $處單位點的質量。
將這一定義延拓到有限維空間，並利用Kolmogorov相容性定理，可以得到：
存在一個概率空間$(\Omega , \mathcal{F} , P)$與一個$\Omega$上的隨機過程$ \{B_{t}\}_{t\geq 0} $，其有限維分布為：
\begin{equation}
P^{x}(B_{t_1}\in F_{1},\cdots , B_{t_k}\in F_{K})\\
=\int_{F_{1}\times \cdots \times F_{k} }^{} p(t_{1},x,x_{1})p(t_{2}-t_{1},x_{1},x_{2})\cdots p(t_{k}-t_{k-1},x_{k-1},x_{k})dx_{1}\cdots dx_{k}
\end{equation}
這一隨機過程稱為初始為$x$的布朗運動。
上述定義的布朗運動並不唯一，選取$\omega \in \Omega$,連續函數$t \to B_t(\omega)$,從$\left[ 0, \infty \right )$映射到$\textbf{R}^n$,這樣我們可以認為布朗運動是配備了上式給出的概率測度$P^x$的$C(\left[ 0,\infty \right) , \textbf{R}^n)$空間
布朗運動的基本特征：
(i) $B_t$是高斯過程：
對所有的$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\cdots\leq t_{k} $隨機變量$ Z=(B_{t_{1}},...,B_{t_{K}})\in \textbf{R}^{nk}$,服從 (多重) 正態分布\\
(ii)$B_t$具有獨立增量性：
對任意的$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq...\leq t_{k} $，
$ B_{t_{1}},B_{t_{2}}-B_{t_{1}},\cdots,B_{t_{k}}-B_{t_{k-1}} $是獨立的。
(iii)$B_t$幾乎處處連續:
布朗運動軌道的連續性質由Kolmogorov 連續性定理給出：
隨機過程$X=\{X_t\}_{t\geq0}$滿足下列條件：
對於任意的$T>0$,存在連續正數$\alpha,\beta,D$,滿足：
\begin{equation}
E[|X_t-X_s|^{\alpha}]\leq D\cdot|t-s|^{1+\beta};\qquad 0\leq s,t\leq T
\end{equation}
則存在隨機過程X的連續形式。
由上述定理可知布朗運動滿足Kolmogorov條件，因此存在連續形式，我們認為$B_t$為連續的
二、$It\hat{o}$積分
$It\hat{o}$積分的構造：
用隨機過程$W_t$替代微分方程里的噪聲部分，可以得到以下形式的微分方程：
\begin{equation}
\frac{dN}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)\cdot W_t
\end{equation}
在多數應用場景下隨機過程$W_t$滿足需要以下條件：
(i)$W_{t_1}$與$W_{t_2}$獨立，$t_1\not = t_2$
(ii)$W_t$是固定的，即聯合分布$\{W_{t_1+t},...,W_{t_k+t}\}$不隨t的變化而變化
(iii)對於所有$t$，$E[W_t]=0$
可證明滿足上述條件的合理隨機過程是不存在的，然而可以將$W_t$表示為一個廣義隨機過程，稱為白噪聲過程。
考慮方程的離散情況：
\begin{equation}
X_{k+1}-X_k=b(t_k,X_k)\Delta t_k+\sigma(t_k,X_k)W_k \Delta t_k
\end{equation}
其中:
\begin{equation}
X_j=X(t_j)$，$W_k=W_{t_k},\Delta t_k=t_{k+1}-t_k
\end{equation}
將$W_k \Delta t_k$替換為$\Delta V_k=V_{t_{k+1}}-V_{t_k}$，當$W_t$滿足上面三個條件時，$V_t$應當為平均值為0的獨立平穩增量。由於只有一種隨機過程——布朗運動滿足連續軌跡，因此令$V_t=B_t$得到：
\begin{equation}
X_k=X_0+\displaystyle\sum_{j = 1}^{k-1}b(t_j,X_j)\Delta t_j+\displaystyle\sum_{j = 1}^{k-1}\sigma(t_j,X_j)\Delta B_j
\end{equation}
當$\Delta t_j\to0$時右側極限若存在，則$X_t=X_t(\omega)$為滿足下式的隨機過程：
\begin{equation}
X_k=X_0+\displaystyle\int_{0}^{t}b(s,X_s)ds+\displaystyle\int_{0 }^{t}\sigma(s,X_s)d B_s
\end{equation}
構造階梯函數可證明隨機積分的存在性，定義積分$\int_{S}^{T}f(t,\omega)dB_t(\omega)$為$\displaystyle\sum_{j}^{S}f(t_j^*,\omega)[B_{t_j+1}-B_{t_j}](\omega)$當$n\to\infty$時的極限形式。
1)當取左端點積分$t_j^*=t_j$時，為$It\hat{o}$積分，表示為
\begin{equation}
\int_{S}^{T}f(t,\omega)dB_t(\omega)
\end{equation}
2)當取中點作積分$t_j^*=(t_j+t_{j+1})/2$時，為$Stratonovich$積分，表示為：
\begin{equation}
\int_{S}^{T}f(t,\omega)\circ dB_t(\omega)
\end{equation}
$It\hat{o}$積分保持了布朗運動的鞅性和獨立增量性，$Stratonovich$積分在運算上可以有如$Riemann$積分中的鏈式法則