記錄一些做過的 2-sat 題目
P4171 [JSOI2010]滿漢全席
很裸的 2-sat
題意：\(n\) 種食材，每種可以按照滿式或漢式來烹飪，有 \(m\) 個要求，每個要求所有做出的菜品中，必須有指定的兩個 滿式/漢式 烹飪的第 \(x\) 種食材 中，至少一個
多測
就把每個食材，拆乘用滿式和用漢式兩個點，然后題目中給出的是“或”的關系，用經典 2-sat 模板的方法建圖跑 tarjan 就行
其實 滿式和漢式 對應的就是經典模型中的 真和假
P5782 [POI2001]和平委員會
每個黨在議會中有 \(2\) 個代表。代表從 \(1\) 編號到 \(2n\)。 編號為 \(2i-1\) 和 \(2i\) 的代表屬於第 \(i\) 個黨派。
選一些人當代表，滿足：
- 每個黨派都在委員會中恰有 \(1\) 個代表。
- 如果 \(2\) 個代表彼此厭惡，則他們不能都屬於委員會。
給出互相厭惡的信息，求是否有滿足要求的選法，如果有，升序輸出任意一種
也是顯然的 2-sat
對於給出的互相厭惡的兩個人，先判一下在他們在自己的黨派中分別是第幾個人
對於每個黨，拆成兩個點，然后每個點代表是選第一個人還是選第二個
連邊的依據就是，如果選了這個人，一定要再選哪個人
我的寫法中是，每個黨中第一個人用 \(1\) 到 \(n\)，編號，第二個人用 \(n+1\) 到 \(2n\) 編號
給出的信息的連邊方式是，對於互相厭惡的每一方，都向對方的黨派中，的另一個人連邊，表示如果選擇這個人，在對方黨派中，就必須選另一個人（因為不能同時選這個人和對方）
然后跑 tarjan 就行了
代碼
P6378 [PA2010]Riddle
\(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向圖被分成 \(k\) 個部分。每個部分包含一些點。
請選擇一些關鍵點，使得每個部分 至多 有一個關鍵點，且每條邊 至少 有一個端點是關鍵點。
比上面兩個稍微難點
還是把每個點拆成兩個，分別表示這個點選為關鍵的還是不選
\(1,\cdots ,n\) 的編號表示選，\(n+1,\cdots ,2n\) 的編號表示不選
首先考慮第二條限制，每條邊 至少 有一個端點是關鍵點
連 \((u+n,v),(v+n,u)\) 兩條邊，表示一段如果不選，一定能導出另一端要選
再考慮第一種，首先有種朴素的想法，就是每一個點，設為 \(x\)，設和它在同一個部分內的點編號分別是 \(a_i\)，用 \(x\) 分別向 \(a_i+n\) 連邊
就是如果 \(x\) 被選了，一定能導出 \(a_i\) 都不能選
但邊數達到了 \(n^2\)，不可行
可以用一種 前綴和優化，以前並沒有聽說過這種方法，還是看來題解才知道的
要新建一堆點，\(pre_i\) 表示在當前的這個部分，前 \(i\) 個點中，有一個點已經被選了，而 \(pre_i'\) 表示前 \(i\) 個點，一個都沒被選
然后也是用 2-sat 的連邊規則，假設某個點表示的信息成立，那么就用它，連向由它表示的這個信息，一定能導出的信息，所對應的點
具體的連邊方式比較復雜，可以想到，如果當前在考慮一個部分的第 \(i\) 個點，與它有關的有 \(a_i,a_i',pre_i,pre_i',pre_{i-1},pre_{i-1}'\)，這里是用 \(a_i,a_i'\) 分別表示代表信息第 \(i\) 個點 選/不選 的點
然后如果很懵的話可以 \(6\times 5=30\) 次兩兩分別枚舉，看一下有沒有關系，看起來麻煩，其實有好多一想就知道沒關系的可以直接跳過了
下面的括號表示連邊，是有向的
- \((a_i,a_i'),(pre_i,pre_i'),(pre_{i-1},pre_{i-1}')\)，這些並不在 2-sat 連邊考慮范圍內，然后把他們反過來也是一樣
- \((a_i,pre_i),(a_i,pre_{i-1}')\)，選了第 \(i\) 個，前 \(i\) 個中有被選的，前 \(i-1\) 個沒有
- \(a_i',pre_i,pre{i-1}'\)，這三個信息並不能推出什么，所以沒有它們的出邊
- \((pre_i',a_i'),(pre_i',pre_{i-1}')\)，顯然
- \((pre_{i-1},pre_i),(pre_{i-1},a_i')\)，前 \(i-1\) 個中有被選的，前 \(i\) 個肯定也有，且第 \(i\) 個不能選
就可以了，題目也並沒有要求給出方案
代碼中，用 \(1\) 到 \(n\) 表示 \(a_i\)，\(n+1\) 到 \(2n\) 表示 \(a_i'\)，\(2n+1\) 到 \(3n\) 是 \(pre_i\)，\(3n+1\) 到 \(4n\) 是 \(pre_i'\)
代碼
P3825 [NOI2017]游戲
\(n\le 5\cdot 10^4,m\le 10^5,d\le 8\)
如果沒有 \(\texttt{x}\) 地圖，那么對於每一場比賽，都只能使用兩種車子
那么對每個比賽，可以用兩個點，分別表示對於當場比賽，用的是能用的車子中的第幾個（比如一場比賽不能用 \(\texttt{A}\)，那么 \(\texttt{B}\) 就是第一個，\(\texttt{C}\) 就是第二個
直接按 2-sat 建圖跑 tarjan
考慮如何建圖，下面描述中，字母意義就對應了題目中游戲要求描述的四元組中的字母，設第 \(i\) 個比賽不能用車 \(s_i\)
- \(s_i=h_i\)，不能用 \(h_i\)，說明這種情況永遠不會發生，直接忽略就行
- \(s_j=h_j\)，\(j\) 比賽不能用 \(h_j\)，說明我們不能讓這種情況發生，否則就違反了規則，那么由 \(h_i\)，向連邊比賽 \(i\) 能用的另一個車連邊，表示如果用車 \(h_i\) 成立（這是不符合我們要求的），就要強制它選另一輛，也就是讓另一個車成立
- 其它情況。由 \(h_i\) 向 \(h_j\) 連邊就行，意義就是題目中要求的，\(i\) 用 \(h_i\) 則 \(j\) 必須用 \(h_j\)
如果 tarjan 判斷成立，按照 tarjan 縮點時強連通分量與拓撲序相反的性質，就能構造出一組解
那么有地圖 \(\texttt{x}\) 怎么辦？
由於 \(\texttt{x}\) 很少，所以可以 \(2^d\) 枚舉每一個 \(\texttt{x}\) 是 \(\texttt{a}\) 或 \(\texttt{b}\)，這樣分別能使用 \(\texttt{A,B}\) 車和 \(\texttt{B,C}\) 車，包含所有情況，就不用考慮 \(\texttt{x}\) 是地圖 \(\texttt{c}\) 的情況了
所以復雜度 \(O(2^dm)\)，洛谷bzoj都能過，但uoj加了一組惡心的extra，被卡成了97，把遞歸改成循環再加上火車頭還是不行/kk
代碼
P3513 [POI2011]KON-Conspiracy
Byteotia 的領土被占領了，國王 Byteasar 正在打算組織秘密抵抗運動。國王需要選一些人來進行這場運動，而這些人被分為兩部分：
一部分成為同謀者活動在被占領區域，另一部分是后勤組織在未被占領的領土上運轉。但是這里出現了一個問題：
- 后勤組織里的任意兩人都必須是熟人，以促進合作和提高工作效率。
- 同謀者的團體中任意兩人都不能是熟人。
- 每一部分都至少要有一個人。
國王想知道有多少種分配方案滿足以上條件，當然也有可能不存在合理方案。
比較有思維難度，思路來自這個blog：https://www.cnblogs.com/chenyushuo/p/5128665.html
首先，可以用一個很顯然的 2-sat 求出一種安排方式，具體方法是 \(i\) 認識 \(j\)，就連邊 \(i+n,j\)，否則連 \(i,j+n\)
其中 \(1\cdots n\) 是后勤，\(n+1\cdots 2n\) 是同謀
然后從這種方式看看能轉變成幾種其它方式，顯然不能同時讓兩個人從一個集合到另一個集合（比如兩個互相認識的后勤同時到了同謀，那么它們互相認識就出現了問題）
所以轉換方式是，一個人自己轉變集合，或者兩個集合交換一個人
首先定義 \(x\) 的“沖突點”，如果 \(x\) 是后勤，那么沖突點是在同謀中的 \(x\) 認識的人，如果 \(x\) 在同謀，沖突點是在后勤中 \(x\) 不認識的人
記 \(x\) 的沖突點個數為 \(num_x\)
- \(num_x>1\)，則無法讓 \(x\) 到另一個集合
- \(num_x=1\)，需要交換 \(x\) 和他的唯一一個沖突點，但是如果它的沖突點的 \(num\) 不為 \(0\)，也不能交換（兩個點顯然不能互為沖突點，那么如果它的沖突點也有沖突點，就肯定和它的集合內的某個點沖突，除非和這個沖突的點互換，它的沖突點是不能來的它的集合的）
- \(num_x=0\)，可以直接把 \(x\) 放到對面（如果 \(x\) 所在集合大小大於 \(1\)），也可以和對面某個沖突點個數為 \(0\) 的點呼喚
最后這個兩個集合中，沖突點為 \(0\) 的點互換產生的答案，可以拿兩遍沖突點個數為 \(0\) 的點的個數一相乘得到
可以想到，這樣統計答案包含了所有情況
POJ2749 Building roads
給出一些點和它們的坐標，以及兩個鏈接點，所有點都要鏈接到恰好一個鏈接點上
給出 \(A\) 對點，這些點任意一對不能鏈接同一個鏈接點。還有 \(B\) 對點，任意一對必須連接到一個鏈接點
問有沒有可行方案，如果有，兩個點之間最大距離的最小值是多少，距離按曼哈頓距離計算
每個點拆成 連到第一個點 和 連到第二個點，然后二分一個最大距離，就可以得到關於距離的限制條件，連邊即可
坑
LOJ#6036.「雅禮集訓 2017 Day4」編碼
P5332 [JSOI2019]精准預測
這倆題細節好像挺多，做了一上午沒做出來自閉了/kk
LOJ#571.「LibreOJ Round #11」Misaka Network 與 Accelerator，一開始以為是個線段樹優化連邊的題，后來寫着寫着發現不對，看網上說要用邊分治，之后應該就要學這一塊了，到時候應該會補
然而難度稍大的我似乎都沒做qaq