深入淺出：“矩陣本質”（上）
下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間里的基本對象是向量，而向量是這么表示的：
[a1, a2, a3, ..., an]
矩陣呢？矩陣是這么表示的：
a11, a12, a13, ..., a1n
a21, a22, a23, ..., a2n
...........
an1, an2, an3, ..., ann
不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間里的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這里只討論這個n階的、非奇異的方陣，如果一組向量是彼此線性無關的話，那么它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個坐標系體系，其中每一個向量都躺在一根坐標軸上，並且成為那根坐標軸上的基本度量單位（長度1）。現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那么組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就可以成為度量線性空間的一個坐標系。（方陣非奇異=矩陣可逆=矩陣滿秩=矩陣行向量線性無關=矩陣列向量線性無關）結論：矩陣描述了一個坐標系。之所以矩陣又是運動，又是坐標系，那是因為——“運動等價於坐標系變換”。對不起，這話其實不准確，我只是想讓你印象深刻。准確的說法是：“對象的變換等價於坐標系的變換”。或者：“固定坐標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的坐標系變換。”說白了就是： “運動是相對的。”
讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，坐標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變坐標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的坐標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
Ma = b的意思是：
“向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”
而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個坐標系，姑且也稱之為M。那么：
Ma = b的意思是：
“有一個向量，它在坐標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那么它在坐標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”
這里的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。而這兩個方式本質上是等價的。我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。在M為坐標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境聲明。它相當於是說： “注意了！這里有一個向量，它在坐標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的坐標系里度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標系M中度量的結果。” 那么我們再看孤零零的向量b：
b 多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位坐標系，也就是我們通常說的直角坐標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M坐標系里量出來的向量a，跟在I坐標系里量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”這哪里是什么乘法計算，根本就是身份識別嘛。從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個坐標系中去度量它，然后把度量的結果（向量在各個坐標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的坐標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的坐標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪個坐標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的坐標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含着是說，這個向量在 I 坐標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個坐標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個坐標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基准坐標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 坐標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個在M坐標系中量出的另一個坐標系N，其中M本身是在I坐標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定坐標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的坐標系變換”，那個“固定對象”我們找到了，就是那個向量。但是坐標系的變換呢？我怎么沒看見？請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎么變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個坐標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M坐標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個坐標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個坐標系里，坐標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾坐標系（直角坐標系）里的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個坐標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來坐標系就變成單位坐標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎么能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原坐標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對坐標系施加變換的方法，就是讓表示那個坐標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”
再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個坐標系。
如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN（矩陣相乘），一方面表明坐標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的前綴，當成N的環境描述，那么就是說，在M坐標系度量下，有另一個坐標系N。這個坐標系N如果放在I坐標系中度量，其結果為坐標系MxN。
在這里，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什么矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：
1. 從變換的觀點看，對坐標系N施加M變換，就是把組成坐標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從坐標系的觀點看，在M坐標系中表現為N的另一個坐標系，這也歸結為，對N坐標系基的每一個向量，把它在I坐標系中的坐標找出來，然后匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什么要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。
綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那么規定，一切有根有據，絕不是哪個神經病胡思亂想出來的。
參考：
https://blog.csdn.net/congzi66166/article/details/78622317
https://blog.csdn.net/u010551600/article/details/78207603