(一) 字母表（Alphabet）
定義：字母表∑是一個有窮符號集合
符號：字 母、數符號：字 母、數、標點符號、 標點符號、 …
說明：為保證排版兼容問題，未使用 MD，HTML 等語法，本文中上標使用 ^ 下標使用 _ 例如：2^3 , X_n
(1) 字母表上的運算
下面的幾種運算，可以先看例子，再回過頭看上面的定義，就其實很簡單了
A：字母表 ∑1 和 ∑2 的乘積 ( product)
∑1∑2={ ab | a∈ ∑1, b∈ ∑2}
例： { 0, 1} {a, b} = {0a, 0b, 1a, 1b}
B：字母表 ∑ 的n次冪 ( power)
∑0 ={ ε }
∑n =∑n-1 ∑ , n ≥ 1
例子：{0，1}^3 = {0，1}{0，1}{0，1} = {000，001，010，011，100，101，110，111}
通過舉例看到字母表（數字）的3次方，最后的結果，就是一些長度為3的數字串的集合
結論：字母表的n次冪：長度為n的符號串構成的集合
C：字母表 ∑ 的正閉包(positive closure)
∑+ = ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …
例：{a, b, c, d }+ = {a, b, c, d, aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, …..., aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …...}
結論：字母表的正閉包：長度正數的符號串構成的集合
D：字母表 ∑ 的克林閉包(Kleene closure)
∑ = ∑0 ∪ ∑+ = ∑0 ∪ ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …*
例：{a, b, c, d }* = {ε, a, b, c, d, aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ...…, aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …...}
注：∑0 ={ ε }
總結：字母表的克林閉包：任意符號串（長度可以為零）構成的集合
(2) 串
設∑是一個字母表，任意x∈∑*，x稱為是 ∑上的一個串
- 串是字母表中符號的一個有窮序列
串s的長度，通常記作|s|，是指s中符號的個數
- 例：|aab| = 3
空串是長度為0的串，用 ε (spsilon) 表示
- |ε| = 0
A：串上的運算-連接
如果 x 和 y 是串，那么 x 和 y 的連接是把 y 附加到 x 后面形成的串，記作 xy
例： x = dog ，y = house ，xy = doghouse
空串是連接運算的單位元（ identity），即，對於任何串 s 都有，εs = sε = s
設x，y，z，是三個字符串，如果x = yz，則稱y是x的前綴，z是x的后綴
B：串上的運算-冪
s0= ε
sn = s^(n-1)s, n ≥1
s1 = s0 s = εs = s，s2 = ss，s3 = sss，…
例：如果 s =ba，那么s1= ba，s2=baba， s3=bababa，…
結論：串s的n次冪：將n個s連接起來
(二) 文法
(1) 文法的形式化定義
G = (V_T , V_N , P , S )
A：V_T：終結符集合
終結符（terminal symbol）是文法所定義的語言的基本符號，有時也稱為token
例: V_T = { apple, boy, eat, little }
B：V_N：非終結符集合
非終結符(nonterminal) 是用來表示語法成分的符號，有時也稱為“ 語法變量”
➢例：V_N = { <句子>, <名詞短語>, <動詞短語>, <名 詞>, … }
C：P ：產生式集合
產生式( production)描述了將終結符和非終結符組合成串的方法
產生式的一般形式：α→β 讀作：α 定義為 β
α∈(V_T∪V_N)+：且α中至少包含V_N中的一個元素：稱為產生式的頭 (head )或左部(left side)
β∈(V_T∪V_N)* ：稱為產生式的體(body)或右部(right side)
D：S ：開始符號
S∈VN
開始符號(start symbol)表示的是該文法中最大的語法成分
E：例子
例：G =( { id, +, *, (, ) }, {E}, P, E )
P ={
E → E + E ,
E → E * E ,
E → ( E ) ,
E → id }
約定：不引起歧義的前提下，可以只寫產生式
G : E → E + E E → E * E E → ( E ) E → id
F：產生式的簡寫
對一組有相同左部的α產生式
α→β1, α→β2, … , α→βn
可以簡記為：
α→β1| β2| … | βn
讀作：α定義為β1，或者β2，…，或者βn 。 β1，β2，…，βn稱為α的候選式(Candidate)
把上面的例子，再簡寫一下
E → E + E E → E * E E → ( E ) E → id
E → E + E | E * E | ( E ) | id
(2) 符號約定
A：終結符
① 字母表中排在前面的小寫字母，如a，b，c
② 運算符，如 +、*等
③ 標點符號，如括號，逗號等
④ 數字0，1、…、9
⑤ 粗體字符串，如id，if等
B：非終結符
① 字母表中排在前面的大寫字母，如A、B、C
② 字母S，通常表示開始符號
③ 小寫、斜體的名字、如expr、stmt等
④ 代表程序構造的大寫字母。如E(表達式)、T(項)、F(因子)
C：文法符號
① 字母表中排在后面的大寫字母(如X、Y、Z)
D：終結符號串
① 字母表中排在后面的小寫字母（u、v、…、z) （包括空串）
E：文法符號串
小寫希臘字母，如α、β、γ （包括空串）
第一個產生式的左部就是開始符號
(三) 語言
(1) 推導和規約
給定文法G=(VT , VN , P , S )，如果 α→β ∈ P，那么可以將符號串γαδ中的α替換為β，也就是說，將γαδ，重寫(rewrite)為γβδ，記作 γαδ ==> γβδ
此時，稱文法中的符號串 γαδ 直接推導(directly derive)出 γβδ
簡而言之，就是用產生式的右部替換產生式的左部
(2) 句型和句子
一個開始符號 S 通過若干步，可以推導出 α，則稱 α 是G的一個句型
- α 是一個文法符號串
如果 α 中的每一個 都是終結符，經過若干部可以推導出一個終結符號串 w，稱 w 是 G 的一個句子
(3) 語言的形式化定義
例如下面的例子： D 可以是0或1或2... 說明其定義為數字，同理L為字母
而T的定義，可以是 L（字母）、D（數字）、TL、TD，通過右側的推導（一直替代T）可得，最后的形式是一個字母數字串
而 S 可推出，是一個字母開頭的字母數字串
(4) 文法的分類
A：0型文法
α --> β
- 無限制文法
- ∀ α --> β ∈ P，α中至少包含一個非終結符
- 0型語言
- 由0型文法G生成的語言L(G)
B：1型文法
上下文有關文法
- ∀ α --> β ∈ P，｜α｜≤｜β｜
- 產生式的一般形式：α1 A α2 --> α1 β α2
- 上下文有關語言
- 由上下文有關文法G構成的語言L(G)
- 不包含 ε-產生式
C：2型文法
上下文無關文法
-
∀α → β ∈P，α ∈ 非終結符
-
產生式的一般形式：A --> β
-
上下文無關語言
-
由上下文無關文法G構成的語言L
D：3型文法
正則文法
- 右線性文法：A --> wB 或 A --> w
- 左線性文法：A --> Bw 或 A --> w
(5) 四種文法的關系
(四) CFG 的分析樹
- 根節點的標號為文法開始符號
- 內部節點表示對一個產生式 A–> β 的應用，該節點的標號是此產生式左部A。該節點的子節點的標號從左到右構成了產生式的右部 β
- 葉節點的標號既可以是非終結符，也可以是終結符。從左到右排列葉節點得到的符號串稱為這棵樹的產出或邊緣
(1) 分析樹是推導的圖形化表示
(2) (句型的)短語
給定一個句型，其分析樹中的每一棵子樹的邊緣稱為該句型的一個短語
- 如果子樹只有父子兩代結點，那么這棵子樹的邊緣稱為該句型的一個直接短語
舉個例子：
(3) 二義性文法
如果一個文法可以為某個句子生成多棵分析樹，則稱這個文法是二義性的
(4) 二義性文法的判定
(五) 例題
1、文法G[S]：S→xSx｜y所描述的語言是（）（n≥0）正確答案（D）
- A．(xux)n
- B．xyxn
- C．xynx
- D．xnyxn
2、給定文法A→bA|ca，為該文法句子的是( ) 正確答案（C）
- A. bba
- B. cab
- C. bca
- D. cba
3、設有文法G[S]：S®S1|S0|Sa|Sc|a|b|c，下列符號串中是該文法的句子有( ) 正確答案（D）
- A. ab0
- B. a0b01
- C. a0b0a
- D. bc10
4、文法G產生的( )的全體是該文法描述的語言 正確答案（D）
- A. 句型
- B. 終結符集
- C. 非終結符集
- D. 句子
5、若文法G定義的語言是無限集，則文法必然是( ) 正確答案（A）
- A. 遞歸的
- B. 上下文無關的
- C. 二義性的
- D. 無二義性的
6、喬姆斯基(Chomsky)把文法分為四種類型，即0型、1型、2型、3型。其中3型文法是( ) 正確答案（B）
- A. 非限制文法
- B. 正則文法
- C. 上下文有關文法
- D. 上下文無關文法
7、一個上下文無關文法G包括四個組成部分，它們是一組非終結符號，一組終結符號，一個開始符號，以及一組( ) 正確答案（B）
- A. 句子
- B. 產生式
- C. 單詞
- D. 句型
8、若一個文法是遞歸的，則它所產生的語言的句子( ) 正確答案（A）
- A. 是無窮多個
- B. 是有窮多個
- C. 是可枚舉的
- D. 個數是常量
9、給定文法A→bA|cc，則符號串①cc ②bcbc ③bcbcc ④bccbcc ⑤bbbcc中，是該文法句子的是( ) 正確答案（D）
- A. ①
- B. ③④⑤
- C. ②④
- D. ①⑤
10、文法E→E+E|EE|i的句子ii+i*i有( )棵不同的語法樹 正確答案（C）
- A. 1
- B. 3
- C. 5
- D. 7
11、文法 S→aaS|abc 定義的語言是( ) 正確答案（C）
-
A. {a^(2k)bc|k>0}
-
B. {a^(k)bc|k>0}
-
C . {a^(2k-1)bc|k>0}
-
D . {a(k)a(k)bc|k>0}
12、文法G：S→xSx| xS|y所識別的語言是() 正確答案（A）
- A.
- B.
- C.
- D.
13、由文法的開始符號出發經過若干步（包括0步）推導產生的文法符號序列稱為( ) 正確答案（B）
- A. 語言
- B. 句型
- C. 句子
- D. 句柄
14、下列符號串不可以由符號集S＝{a,b}上的正閉包運算產生的是( ) 正確答案（A）
- A. ε
- B. a
- C. aa
- D. ab
15、文法G：S → x xS | y 所識別的語言是( ) 正確答案（D）
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
16、文法G：S → xS | y 所識別的語言是( ) 正確答案（D）
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
(十) 結尾
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