相關性分析

corr

線性或等級相關

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句法

rho = corr(X)

rho = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(___,Name,Value)

 

描述

rho = corr(X) 返回輸入矩陣中每對列之間成對線性相關系數的矩陣X。

例

rho = corr(X,Y) 返回輸入矩陣X和中每對列之間的成對相關系數矩陣Y。

例

[rho,pval] = corr(X,Y) 還返回p值pval矩陣，用於測試無相關假設與非零相關的替代假設。

例

[rho,pval] = corr(___,Name,Value) 除了使用先前語法中的輸入自變量之外，還使用一個或多個“名稱/值”對自變量指定選項。例如， 'Type','Kendall'指定計算肯德爾的tau相關系數。

 

例子

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查找兩個矩陣之間的相關性

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找到兩個矩陣之間的相關性，並將其與兩個列向量之間的相關性進行比較。

生成樣本數據。

rng（'默認'）
X = randn（30,4）;
Y = randn（30,4）;

介紹矩陣第二X列與矩陣第四列之間的相關性Y。

Y（：，4）= Y（：，4）+ X（：，2）;

計算X和的列之間的相關性Y。

[rho，pval] = corr（X，Y）

rho = 4×4
 -0.1686 -0.0363 0.2278 0.3245 0.3022 0.0332 -0.0866 0.7653 -0.3632 -0.0987 -0.0200 -0.3693 -0.1365 -0.1804 0.0853 0.0279

pval = 4×4
 0.3731 0.8489 0.2260 0.0802 0.1045 0.8619 0.6491 0.0000 0.0485 0.6039 0.9166 0.0446 0.4721 0.3400 0.6539 0.8837

正如預期的那樣，兩列之間的相關系數X和列四個Y，rho(2,4)，是最高的，並且它代表了兩列之間的高的正相關性。對應的p值pval(2,4)對於所示的四位數為零。由於p值小於的顯着性水平0.05，因此表明拒絕了兩列之間不存在相關性的假設。

計算之間的相關性X和Y使用corrcoef。

[r，p] = corrcoef（X，Y）

r = 2×2
 1.0000 -0.0329 -0.0329 1.0000

p = 2×2
 1.0000 0.7213 0.7213 1.0000

的MATLAB®功能corrcoef，不像corr功能，將輸入的矩陣X和Y成列向量，X(:)並且Y(:)，計算它們之間的相關性之前。因此，不再需要在矩陣的第二X列與矩陣的第四列之間引入相關性Y，因為這兩列位於轉換后的列向量的不同部分中。

的非對角元素的值r，其表示之間的相關系數X和Y，是低的。此值表示X和之間幾乎沒有相關性Y。同樣，的非對角線元素的值（p表示p值）比的顯着性水平高得多0.05。該值表明沒有足夠的證據來拒絕X和之間沒有相關性的假設Y。

 

 

測試相關性的假設

查看MATLAB命令

測試兩個矩陣的列之間的正，負和非零相關性的替代假設。分別比較相關系數的值和p值。

生成樣本數據。

rng（'默認'）
X = randn（50,4）;
Y = randn（50,4）;

在矩陣的第一X列和矩陣的第四列之間引入正相關Y。

Y（：，4）= Y（：，4）+ 0.7 * X（：，1）;

在的第二列X和的第二列之間引入負相關Y。

Y（：，2）= Y（：，2）-2 * X（：，2）;

測試相關性大於零的替代假設。

[rho，pval] = corr（X，Y，'Tail'，'right'）

rho = 4×4
 0.0627 -0.1438 -0.0035 0.7060 -0.1197 -0.8600 -0.0440 0.1984 -0.1119 0.2210 -0.3433 0.1070 -0.3526 -0.2224 0.1023 0.0374

pval = 4×4
 0.3327 0.8405 0.5097 0.0000 0.7962 1.0000 0.6192 0.0836 0.7803 0.0615 0.9927 0.2298 0.9940 0.9397 0.2398 0.3982

正如預期的那樣，列之一之間的相關系數X和列四個Y，rho(1,4)具有最高正值，表示兩列之間的高的正相關性。對應的p值，pval(1,4)對於所示的四位數為零，低於的顯着性水平0.05。這些結果表明拒絕了兩列之間不存在相關性的零假設，並得出了相關性大於零的結論。

測試相關性小於零的替代假設。

[rho，pval] = corr（X，Y，'Tail'，'left'）

rho = 4×4
 0.0627 -0.1438 -0.0035 0.7060 -0.1197 -0.8600 -0.0440 0.1984 -0.1119 0.2210 -0.3433 0.1070 -0.3526 -0.2224 0.1023 0.0374

pval = 4×4
 0.6673 0.1595 0.4903 1.0000 0.2038 0.0000 0.3808 0.9164 0.2197 0.9385 0.0073 0.7702 0.0060 0.0603 0.7602 0.6018

正如預期的那樣，兩列之間的相關系數X和列兩個Y，rho(2,2)，具有最大絕對值（負數-0.86），代表兩列之間的高的負相關。對應的p值，pval(2,2)對於所示的四位數為零，低於的顯着性水平0.05。同樣，這些結果表明對原假設的拒絕，並得出結論，相關性小於零。

測試相關性不為零的替代假設。

[rho，pval] = corr（X，Y）

rho = 4×4
 0.0627 -0.1438 -0.0035 0.7060 -0.1197 -0.8600 -0.0440 0.1984 -0.1119 0.2210 -0.3433 0.1070 -0.3526 -0.2224 0.1023 0.0374

pval = 4×4
 0.6654 0.3190 0.9807 0.0000 0.4075 0.0000 0.7615 0.1673 0.4393 0.1231 0.0147 0.4595 0.0120 0.1206 0.4797 0.7964

的p -值，pval(1,4)和pval(2,2)，均為零所示的四位數字。由於p值低於的顯着性水平0.05，因此相關系數rho(1,4)和rho(2,2)明顯不同於零。因此，原假設被拒絕；相關性不為零。

 

 

輸入參數

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X— 輸入矩陣
矩陣

輸入矩陣，指定為n × k 矩陣。的行X對應於觀測值，列對應於變量。

例： X = randn(10,5)

數據類型：single |double

Y— 輸入矩陣
矩陣

輸入矩陣，指定為 ñ -by- ķ 2 矩陣時X被指定為一個 ñ -by- ķ 1 矩陣。的行Y對應於觀測值，列對應於變量。

例： Y = randn(20,7)

數據類型：single |double

名稱-值對參數

指定可選的逗號分隔的Name,Value參數對。Name是參數名稱，Value是對應的值。 Name必須出現在引號內。您可以按任意順序指定幾個名稱和值對參數 Name1,Value1,...,NameN,ValueN。

示例：corr(X,Y,'Type','Kendall','Rows','complete')僅使用不包含缺失值的行來返回Kendall的tau相關系數。

'Type'— 相關類型
'Pearson'（默認）| 'Kendall'|'Spearman'

相關類型，指定為以逗號分隔的一對，由'Type'和之一組成。

值	描述
'Pearson'	皮爾遜線性相關系數
'Kendall'	肯德爾的Tau系數
'Spearman'	斯皮爾曼的羅

corr使用學生的t 分布來計算相關變換，從而計算Pearson相關的p值。當正態分布來自正態分布時，這種關聯是精確的。使用精確的置換分布（對於小樣本量）或大樣本近似值，計算Kendall tau和Spearman rho 的 p值。XYcorr

例： 'Type','Spearman'

'Rows'— 用於計算的行
'all'（默認）| 'complete'|'pairwise'

在計算中使用的行，指定為以逗號分隔的一對，由'Rows'和之一組成。

值	描述
'all'	使用輸入的所有行，而不管缺少的值（NaNs）。
'complete'	僅使用輸入的行，且不缺少任何值。
'pairwise'	rho(i,j)使用列i或中 沒有缺失值的行進行計算j。

與'complete'值不同，該 'pairwise'值始終會產生一個正定或半正定rho。此外，該 'complete'值通常使用較少的觀察值來估計rho輸入（X或Y）的行何時包含缺失值。

例： 'Rows','pairwise'

'Tail'— 替代假設
'both'（默認）| 'right'|'left'

替代假設，指定為以逗號分隔的一對，由'Tail'表中的值和組成。'Tail'指定用於計算p值以測試無相關假設的替代假設。

值	描述
'both'	測試相關性不是的替代假設0。
'right'	測試相關性大於 0
'left'	測試相關性小於的替代假設0。

corr計算p為通過加倍兩個單尾的更顯著的雙尾檢驗-值p -值。

例： 'Tail','left'

輸出參數

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rho—成對線性相關系數
矩陣

成對線性相關系數，以矩陣形式返回。

• 如果僅輸入矩陣X， rho則是對稱的 k × k矩陣，其中 k是中的列數 X。該條目rho(a,b)是線性列之間的相關系數的成對 一個和列b在 X。

• 如果輸入矩陣X和 Y，rho是 ķ 1 -by- ķ 2 矩陣，其中ķ 1和 ķ 2是列的數目X和Y分別。該條目rho(a,b)是第a in X列和第b in 列之間的成對線性相關系數Y。

pval- p -值
矩陣

p值，以矩陣形式返回。的每個元素 pval都是的對應元素的p值rho。

如果pval(a,b)小於（小於 0.05），則相關性 rho(a,b)與零顯着不同。

更多關於

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皮爾遜線性相關系數

皮爾森線性相關系數是最常用的線性相關系數。對於矩陣X的X a列 和矩陣Y的Y b列，均值和，皮爾遜線性相關系數 rho（a，b）定義為：〜〜X一=Ñ我=1（X一，我）/Ñ，〜〜ÿb=ÑĴ=1（Xb，Ĵ）/Ñ

ř ħ Ô （一，b ） = Ñ我=1（X一，我 - 〜〜X一）（Ýb ，我 - 〜〜ÿb）{Ñ我=1（X一，我 - 〜〜X一）2ÑĴ=1（Ýb，Ĵ- 〜〜Ÿb）2 }1 / 2， 

 

其中n是每列的長度。

相關系數的值范圍可以從–1到 +1。值–1表示完全負相關，而值+1表示完全正相關。值0表示各列之間沒有相關性。

肯德爾的Tau系數

Kendall的tau是基於計數的（數I，J）對，用於我置於<J ，是一致的，也就是說，對於其中和具有相同的符號。肯德爾tau方程包含對歸一化常數中的聯系的調整，通常稱為tau-b。Xa ，i -Xa ，jYb ，i -Yb ，j

對於矩陣 X中的X a列和矩陣Y中的Y b列，Kendall的tau系數定義為：

τ = 2 Kn （n − 1 ），

 

其中，和ķ = Ñ - 1我=1個ñĴ=我+1ξ*（X一，我，X一個，Ĵ，ÿb ，我，ÿb ，Ĵ），

ξ*（X一，我，X一個，Ĵ，ÿb ，我，ÿb ，Ĵ） =1個0− 1如果如果如果（Xa ，i - Xa ，j）（Yb ，i - Yb ，j）（Xa ，i - Xa ，j）（Yb ，i - Yb ，j）（Xa ，i - Xa ，j）（Yb ，i - Yb ，j）> 0= 0< 0 。

 

相關系數的值范圍可以從–1到 +1。值–1表示一個列的排名與另一列相反，而值+1 表示兩個列的排名相同。值0 表示各列之間沒有關系。

斯皮爾曼的羅

Spearman的rho等於應用於X a和 Y b列的排名的Pearson線性相關系數。

如果每一列中的所有等級都不同，則該方程式簡化為：

ř ħ Ô （一，b ） = 1 - 6 d2n （n2 − 1 ）， 

 

其中d是兩列的等級之間的差，n是每列的長度。

提示

之間的差corr(X,Y)的MATLAB和®功能corrcoef(X,Y)是， corrcoef(X,Y)返回一個兩個向量相關系數矩陣X和Y。如果 X和Y不是列向量， corrcoef(X,Y)則將它們轉換為列向量。

參考文獻

[1] Gibbons，JD 非參數統計推斷。第二版。德克（1985年）。

[2] Hollander，M.和DA Wolfe。非參數統計方法。威利（1973）。

[3] Kendall，MG 等級相關方法。格里芬（Griffin），1970年。

[4] Best，DJ和DE Roberts。“算法AS 89：Spearman的rho的上尾概率。” 應用統計，24：377-379。