素數判定Miller_Rabin 算法詳解

最簡單直觀簡單的素數判定方法就是試除法。對於判斷數n是否是素數，我們從2開始一直到sqrt(n)。如果找到一個因子則判斷n不是素數，否則是素數。代碼如下：

bool isPrime( long long n )
{
    for(long long i = 2; i*i <= n; i++)
    {
        if(n%i == 0) return false;
    }
    	return true;
}        

　　

如果要找到成1~n的所有素數那么這個時間代價就變為O(n^2)，很多時候是不可接受的。
所以隨着學習的深入，我們了解到了素數篩法，即從2開始，2的倍數肯定不是素數，再向右掃描，如果掃描到素數，則重復之前的過程，剔除之后的部分合數（准確的說是關於當前質數的倍數），如果掃描到合數則跳過（表示前面已經更新過這個數不是素數）。然后都掃描一遍即可把1~n的素數求解出來。這個算法的復雜度略高於O(n)。素數篩代碼如下：

bool isprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt = 0;//保存素數個數
void getPrime()
{
	for(int i = 1; i < MAXN; i++)
		isprime[i] = true; 
                //先假設所有數是素數，后面逐個掃描更新
	for(int i = 2; i < MAXN; i++) //掃一遍
	{
		if(!isprime[i]) continue; 
                //如果不是素數，則不往后面更新
		
		prime[cnt++] = i;
		for(int j = 2 * i; j < MAXN; j += i)
			isprime[j] = false;
	}
}

但是這個算法的弊端在於，為了判斷一個大數是否是素數必須從從頭開始掃描，而且空間代價也受不了，故不能離散的判斷。

 

Miller_rabin算法

 

算法的理論基礎：

1. Fermat定理：

若n是奇素數，a是任意正整數(1≤ a≤ n−1)，

 

 

證明：由費馬定理，可以排除大部分非素數的情況（滿足費馬定理是素數的必要條件），給出一個奇素數n，顯然n-1為一個偶數，存在,顯然（q，m為任意整數）是成立的，所以,顯然.

2. 二次探測定理：

　　證明過程如下：

　　

　　由p為一個素數可以推出。

　　所以根據二次探測定理，可以推斷,……,.

3. 綜上：

對於一個大數n，判斷n是不是素數的時候，可以先考慮a^（n-1）≡ 1（mod n）

對於n-1，一定可以拆分成2^s+d：

可以從x = a^d開始，依次平方s次，每次平方的時候模上n，按照之前的平方根定理，如果模上n的結果為1的話，那么x一定是1，或者是n-1，如果不滿足則不是素數，x=x²，再次循環。

每次隨機選一個在2-n-1的數字作為a，可以重復測試。

由於mod上的是n，n是一個大數，所以快速冪中的乘法，需要用快速加法來實現。不然就算模上之后再相乘也會溢出。

 

代碼：

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <algorithm>  
#include <cmath>  
#include <cstring>  
#include <map>  
using namespace std;
 
const int times = 20;
int number = 0;
 
map<long long, int>m;
long long Random( long long n )			
//生成[ 0 , n ]的隨機數
{
	return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}
 
long long q_mul( long long a, long long b, long long mod ) 
{//快速計算 (a*b) % mod
	long long ans = 0;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			b--;
			ans =(ans+ a)%mod;
		}
		b /= 2;
		a = (a + a) % mod;
 
	}
	return ans;
}
 
long long q_pow( long long a, long long b, long long mod ) 
{//快速計算 (a^b) % mod
	long long ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			ans = q_mul( ans, a, mod );
		}
		b /= 2;
		a = q_mul( a, a, mod );
	}
	return ans;
}
 
bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的精華
{//用檢驗算子a來檢驗n是不是素數
	long long tem = n - 1;
	int j = 0;
	while(tem % 2 == 0)
	{
		tem /= 2;
		j++;
	}
	//將n-1拆分為a^r * s
 
	long long x = q_pow( a, tem, n ); 
	//得到a^r mod n
	if(x == 1 || x == n - 1) return true;	
	//余數為1則為素數
	while(j--) //否則試驗條件2看是否有滿足的 j
	{
		x = q_mul( x, x, n );
		if(x == n - 1) return true;
	}
	return false;
}
 
bool miller_rabin( long long n )  
{//檢驗n是否是素數
 
	if(n == 2)
		return true;
	if(n < 2 || n % 2 == 0)
		return false;				
		//如果是2則是素數，如果<2或者是>2的偶數則不是素數
 
	for(int i = 1; i <= times; i++)  //做times次隨機檢驗
	{
		long long a = Random( n - 2 ) + 1; 
		//得到隨機檢驗算子 a
		if(!witness( a, n ))						
		//用a檢驗n是否是素數
			return false;
	}
	return true;
}
 
 
int main( )
{
	long long tar;
	while(cin >> tar)
	{
		if(miller_rabin( tar ))	//檢驗tar是不是素數
			cout << "Yes, Prime!" << endl;
		else
			cout << "No, not prime.." << endl;
	}
	return 0;
}

　　

部分參考：https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9046117.html