本來准備昨天下午寫的，但是因為去參加360眾測靶場的考核耽擱了，靶場的題目還是挺基礎的。
繼續學習吧。
使用黑色墨水在白紙上簽名就像由像素點構成的稀疏矩陣。如圖4所示。
圖4 手寫體簽名
【問題】請將以下稀疏點陣信息用三元組表進行存儲，並：
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(1)用稀疏矩陣快速轉置法對該矩陣進行轉置。轉置前后的三元組表均以行序為主序。
(2) 以陣列形式輸出轉置前后的稀疏矩陣，如圖5所示。
圖5 (a)轉置前 (b)轉置后
先普及一下稀疏矩陣的概念：
簡單理解稀疏矩陣就是元素大部分為零的矩陣，在實際生活中我們遇到的大型稀疏矩陣，如果按照常規的儲存方法，就會造成大量空間的浪費，而且在訪問和操作的時候也會造成大量時間上的浪費。三元組表就是為了解決這一問題而產生的解決方案之一。
稀疏矩陣由於其自身的稀疏特性，通過壓縮可以大大節省稀疏矩陣的內存代價。具體操作是：將非零元素所在的行、列以及它的值構成一個三元組（i，j，v），然后再按某種規律存儲這些三元組，這種方法可以節約存儲空間，而這些三元組的集合，就是三元組表。
我們一步步來，將問題分解為一個個小模塊，先將稀疏矩陣存儲在三元組表中
因為C語言中沒有三元組這種數據類型，所以我們先使用typedef定義三元組表：
typedef struct{
int i,j,val;
}NODE;
i,j,val分別表示三元組表的行，列以及非零元素的值。
這里的需要儲存的稀疏矩陣也一起定義了
int nums[11][10]={
{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
};
這里有一個問題是：
將稀疏矩陣存儲到三元組表中時，需要記錄稀疏矩陣的行列值嗎？
答案是肯定的，如果不存儲稀疏矩陣的行列值，當遇到稀疏矩陣最后一行全部是0的情況，由稀疏矩陣得到的三元組表，是無法還原成原來的稀疏矩陣的。
在上面的稀疏矩陣中，一共有28個非零元素，行值為11，列值為10，所以我們需要申請29個三元組的儲存空間，多余的那一個儲存空間用來存儲稀疏矩陣的行，列值，以及稀疏矩陣中非零元素的個數
#define T 28 NODE matrix[T+1]; matrix[0].i=11; matrix[0].j=10; matrix[0].val=0;
用三元組表中第0個元素存儲稀疏矩陣的基礎信息
然后就到了將稀疏矩陣nums存儲進三元組表的操作，遍歷稀疏矩陣，當有元素為1的時候，將三元組表非零元素數量matrix[0].val++;然后依次將稀疏矩陣非零元素的信息存儲進三元組表中
void init_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(nums[i][j]==1){
matrix[0].val++;
matrix[matrix[0].val].i=i;
matrix[matrix[0].val].j=j;
matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
}
}
}
}
存儲了之后我們將三元組表輸出還原成稀疏矩陣，看是否能正確還原
void put_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
int count=1;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
printf("%d",matrix[count].val);
count++;
}else{
printf("0");
}
}
printf("\n");
}
}
程序運行的結果是
可以看到顯示與原稀疏矩陣相同，說明存儲入三元組表是正確的
接下來我們進行三元組表的快速轉置，先貼一張上課時候的PPT
當然如果直接看PPT的話很有可能還是一頭霧水，所以舉一個形象的例子：
一個年級有四個班的同學，一班有20人，二班有30人，三班有40人，四班有50人，全年級的同學一起到電影院看電影，進了電影院之后，告訴我們要按照班級的順序坐座位，座位只有一排，大家進電影院的時候都是跟自己熟悉的朋友一起，自然是亂序的，那我們應該怎么才能快速依次按照班級的順序坐座位呢？
有一個辦法是，大家隨便坐座位，到了位置上之后，再進行班級順序的比較，讓一班的同學坐一班的位置，二班的同學坐二班的位置等等等，但是這樣兩兩進行比較，效率未免過於低下。
另外的一個辦法是，坐座位的時候，先把人群里面的一班同學篩選出來，依次放在一班同學的位置，然后再將人群里面的二班同學篩選出來，放在一班同學的后面位置，然后。。。
思考了之后，好像沒有能夠只篩選（遍歷）一次人群就坐好座位的辦法。
當然是！有的
所以就引入快速轉置三元組表的辦法，即如果我們提前知道每個班有多少人，在遍歷人群的時候，只需要將其放在每個班開始的位置就行了。
如人群的開始班級排列是這樣的 2,3,1,4,2,2,3.。。。。第一個同學是2班的，我們將其安排在第21號座位上（假設座位號是從1開始），因為我們知道前面會有20個一班的同學要坐座位，接着二號同學是三班的，安排在51號座位，三號同學是1班的，安排在1號座位，四號同學是四班的，安排在91號座位，五號同學！又是二班的，但是原來二班的同學已經坐了21號，所以我們理所當然地坐在22號座位，后面的也是這樣，只需要遍歷一次原人群，就能將同學們按照順序坐在相應的位置上了。
但是在上面的描述中，我們需要知道每個班有多少人，以及每個班的第一個位置是在哪里（比如最開始二班同學的第一個位置是21號座位，有同學坐了21號座位之后，第一個位置自然就后移成22號座位了，等待下一個同學來坐，坐了之后再繼續后移），所以需要兩個輔助數組來存儲這兩個信息
num數組用來存儲每個班中的人數，cpot數組用來存儲每個班的第一個位置。
在三元組表快速轉置中,num[i]表示原三元組表中第i列中非零元的個數，cpot[i]表示原三元組表中第i列中第一個非零元素的在新的三元組表中的位置（cpot這一段可能有點繞，再解釋一下，因為在題目中，我們需要轉置之后的三元組表按照行主序排列，由於是轉置之后的，說明我們的順序在轉置之前，是按照列序在新的三元組表中放置，即如果新的三元組表中有(2,1),(1,2)，那么(1,2)會在(2,1)的下面，因為2>1，找到其在三元組表中對應的位置后，再進行行列轉置）
接下來將新三元組表中第0元素設置好
new_matrix[0].i=matrix[0].j; new_matrix[0].j=matrix[0].i; new_matrix[0].val=matrix[0].val;
然后初始化num數組和cpot數組，這里需要提到的是兩個PPT里面也顯示了的關系，再貼一次：
cpot[i]表示原三元組表中第i列中第一個非零元素在新的三元組表中的位置，可以理解為同學們去看電影的時候，每個班在電影院座位上的最開始那個座位，比如二班的同學最開始是21，三班的同學是51，但是有一個顯而易見的事實是（別告訴我你沒看出來:-)當然沒看出來也沒事），一班的同學在座位中最開始的座位是1，這個是不需要遍歷人群，也不需要由班級人數可以確定的，而其他每個班開始的位置，是上一個班的開始位置+上一個班的人數，如21=1+20,1是一班開始的座位，20是1班的人數，三班的同學由二班的位置又可以得到51=21+30，依次類推初始化cpot
for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
num[i]=0;
}
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
num[matrix[i].j]++;
}
cpot[0]=1;
for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
}
最后就是最關鍵的轉置的時候了，當然經過前面這么多的鋪墊，最后這一步已經顯得很簡單了，和大家去看電影這個例子一樣，按照步驟放位置就行了。
使用tmp變量存儲該元素屬於哪一列（哪一個班級），first變量存儲其列在新的三元組表中存儲的位置（該班級同學坐的第一個位置），然后將原三元組表中的數據轉置之后放進去就行了，最后讓這個列在新的三元組表中存儲位置后移一位（后來的該班同學只好坐在這個同學后面啦），代碼已經不是很重要了
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
tmp=matrix[i].j;
first=cpot[tmp];
new_matrix[first].i=matrix[i].j;
new_matrix[first].j=matrix[i].i;
new_matrix[first].val=matrix[i].val;
cpot[tmp]++;
}
分析完了之后是不是感覺也沒那么難了呢，其實關鍵的代碼只有那么幾處，慢慢分析是可以縷清思路的。
轉置后輸出結果為：
完整代碼如下：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 111
int nums[11][10]={
{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
};
typedef struct{
int i,j,val;
}NODE;
#define T 28
void put_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
int count=1;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
printf("%d",matrix[count].val);
count++;
}else{
printf("0");
}
}
printf("\n");
}
}
void init_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(nums[i][j]==1){
matrix[0].val++;
matrix[matrix[0].val].i=i;
matrix[matrix[0].val].j=j;
matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
}
}
}
}
void put_nums(){
int i,j;
for(i=0;i<11;i++){
for(j=0;j<10;j++){
printf("%d",nums[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
void reverse_matrix(NODE* matrix,NODE* new_matrix){
int num[matrix[0].j],cpot[matrix[0].j];
int tmp,first,i;
new_matrix[0].i=matrix[0].j;
new_matrix[0].j=matrix[0].i;
new_matrix[0].val=matrix[0].val;
for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
num[i]=0;
}
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
num[matrix[i].j]++;
}
cpot[0]=1;
for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
}
//轉置存儲
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
tmp=matrix[i].j;
first=cpot[tmp];
new_matrix[first].i=matrix[i].j;
new_matrix[first].j=matrix[i].i;
new_matrix[first].val=matrix[i].val;
cpot[tmp]++;
}
}
int main(){
int i,j;
NODE matrix[T+1],new_matrix[T+1];
matrix[0].i=11;
matrix[0].j=10;
matrix[0].val=0;
printf("儲存入三元組表前:\n");
put_nums();
printf("初始化三元組表...");
init_matrix(matrix);
printf("\n使用三元組表按行主序進行儲存后:\n");
put_matrix(matrix);
printf("正在轉置...");
reverse_matrix(matrix,new_matrix);
printf("\n轉置后的結果為:\n");
put_matrix(new_matrix);
return 0;
}
以上
matrix[