前言
為進一步刻畫網絡的拓撲結構, 引入高階拓撲特性。本章介紹了二階度分布特性(也叫度相關性)的幾種不同的方法,包括聯合概率分布,條件概率和余平均度等...
度相關性和同配性
度相關性
- 平均度: \(<k>=\frac{2M}{N}\) ,
0介度分布特性 - 度分布: \(P(k)=n(k)/N\),
1介度分布特性, 其中\(n(k)\)表示度為k的節點的個數, 如果隨機選擇一個節點\(i\),那么它度為\(k\)的概率就是\(P(k)\), - 顯然,
1介度分布特性已經包含0介度分布特性
\[<k> = \sum_{k=0}^{\infty}kP(k) \]
聯合概率分布(二階度分布)
顯然,如上圖,兩個具有相同的度分布的網絡,其網絡結構方面也有很大區別, 因此引入 聯合概率分布.
定義
有兩種定義
- 聯合概率\(P(i, j)\)定義為網絡中隨機選取的一條邊, 該邊連接的兩個端點的度分別為\(i和j\)的概率
- 聯合概率\(P(i, j)\)定義為網絡中端點的度分別為\(i和j\)之間的邊數占
總邊數的比例
\[P(j,k)=\frac{m(j,k)\mu(j,k)}{2M} \]
- \(其中m(j, k)是度分別為j和k的節點的連邊數\)
- \(如果j=k,那么\mu(j,k)=2, 否則\mu(j,k)=1\)
聯合概率分布具有以下性質
- 對稱性
\[P(i,j) = P(j, i) \]
- 歸一化
\[\sum_{i,j}^{\infty}P(i,j)=1 \]
- 余度分布(Excess degree distribution)
\[P_n(k)=\sum_{j=k_{min}}^{k_{max}}P(j,k) \]
- \(其中k_{min},k_{max}分別表示網絡中度的最小和最大值,\)
- \(P_n(k)表示:網絡中隨機挑選一個節點, 該節點與度為k的節點相連的概率\)
余平均度
這里介紹另一種判斷度相關性的方法:
條件概率
如上, 如果條件概率\(P_c(j|k)與k相關\),那么就說明節點之間具有度相關性,並且網絡拓撲可能具有層次結構 否則就不具有度相關性.
余平均度
同配系數
進一步介紹如何用一個指標值來刻畫網絡是同配還是異配.
社團結構與模塊度
分類聚類是尋找社會網絡中社團結構的一類傳統算法, 該類算法分為兩類: 凝聚算法(Agglogmerative method)和分裂算法(divisive method)
模塊度(modularity)
模塊度是今年常用的一種衡量社團划分質量的標准, 其基本的想法是把划分社團后的網絡與相應的零模型(Null method)進行比較,以度量社團划分的質量.
- 零模型: 一個網絡的零模型指的是, 與該網絡具有相同的性質(如相同的邊數或相同的度分布)而在其他方面完全隨機的隨機圖模型, 第六章會介紹.
模塊度的概念:
\[Q_{real}=\frac{1}{2}\sum_{ij}a_{ij}\delta(C_i,C_j) \]
- \(其中A=(a_{ij})\),是實際網絡的鄰接矩陣
- \(C_i和C_j分別表示節點i和節點j在網絡中所屬的社團\)
- \(如果i,j屬於同一個社團,那么\delta(C_i,C_j)=1, 否則\delta(C_i,C_j)=0\)