球面三角的相關計算

已知3個球心角（A0、B0、C0）及球體半徑R，計算：球面三角的角度(A、B、C)、球面三角的面積、以及球角錐的體積

（涉及角度均為弧度制）

 

1、計算球面三角形的邊長a、b、c：

　　a = A0*R; （弧長=弧度*球半徑）

　　b = B0*R; 

　　c = C0*R;

2、計算球面角：

　　（1）方法一：基於余弦定理求解：

       

　　故，A = acos( (cosa-cosbcosc)/(sinbsinc))，同理可計算球面角B和C

       （2）方法二，也可由正弦公式求得

3、計算球面超（spherical excess）：

      E=A+B+C-Pi   （球面三角的內角和減去普通三角的內角和）

球面超的另外一種算法：

 其中，a、b、c為球面三角的邊長，s為周長的一半（s = 0.5*(a+b+c)）。

 

4、球面三角面積：

     S = E*R^2

5、球角錐體積：

     V = S*R/3

 

  #===================================

以三個直角的球面角特例進行驗證計算

Matlab程序如下：

 

clc;clear


A0 = pi/2; B0 = pi/2; C0 = pi/2; 
d = 1; % set diameter of sphere as 1.0
r=d/2;


a = A0*r; b = B0*r; c = C0*r;
s = (a+b+c)/2;


% The 1st method for calculation of Spherical Angle
cosA1 = (cos(a/r)-cos(b/r)*cos(c/r))/(sin(b/r)*sin(c/r));
A1 = acos(cosA1);
disp("Spherical Angle 1:");
disp(A1);
% The 2nd method for calculation of Spherical Angle
sinA2 = (sin((s-b)/r)*sin((s-c)/r)/sin(b/r)/sin(c/r))^0.5;
A2 = asin(sinA2)*2;
disp("Spherical Angle 2:");
disp(A2)
% The 1st method for the calculation of Spherical Excess
E1 = A1*3-pi;
disp("Spherical Excess 1:");
disp(E1);
% The 2nd method for the calculation of Spherical Excess
temp = tan(0.5*s/r) * tan(0.5*(s-a)/r) * tan(0.5*(s-b)/r) * tan(0.5*(s-c)/r);
temp = temp^0.5;
E2 =atan(temp)*4;
disp("Spherical Excess 2:");
disp(E2);
%Surface area of the Spherical Triangle:
SurfArea = E2*r^2;
disp("Surface area of the Spherical Triangle:");
disp(SurfArea);
%Volume of the Spherical Pyramid
VsphPyramid = SurfArea*r/3;
disp("Volume of the Spherical Pyramid:");
disp(VsphPyramid);

 

 

 

 注：上圖中“球面積為4piR^2，其1/8應為piR²/2”。

 

 

參考資料：

1. https://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html

2. https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html

3. https://mathworld.wolfram.com/SphericalTriangle.html

4. https://baike.baidu.com/item/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%A6/1307052?fr=aladdin