阿里巴巴面試題|完美洗牌問題

題意：給定一個降序的正數數組，要求按【最小、最大、次小、次大…】的順序重新排序。期望的時間復雜度為O（n），空間復雜度為O（1）,即不能申請額外數組。例如：輸入【7，6，5，4，3，2，1】輸出【1，7，2，6，3，5，4】

分析：

首先，計算每個元素要挪到哪里感覺很簡單，目測是這樣：
1. 舊位置i < 2/n：新位置j＝2 * i +1
2. 舊位置i >= 2/n: 新位置j = 2 * (n - 1 - i)

然后就是沿鏈輪換了。本例中 a[0]＝7應該被移到a[1], a[1]本來的數6應該被移到a[3], a[3]本來的數4應該被移到a[6]... 最后發現，把input數組變成output數組, 需要三組輪換：
1. a[0]->a[1]->a[3]->a[6]->a[0]
2. a[2]->a[5]-a[2]
3. a[4]位置不變
完成每個輪換只需要一個額外的變量，騰出一個數組位置。因此空間復雜度O(1)。每個元素只會被挪動一次，時間復雜度O(n)。
此外還需要標記哪些元素已經被移動過了。通常另開一個數組標記會比較方便。。但是這題不允許，所以可以把每個移動過的元素都都取負作為標記，之后再還原。（也可以用其他的標記方式）

這也對應一個群論中的結論：置換可以分解成若干個不相交的輪換。

代碼

#include <stdio.h>

int trans(int len, int i) {
    if(len % 2 == 0) {
        if(i < len / 2) return i * 2 + 1;
        else return (len - i - 1) * 2;
    } else {
        if(i < len / 2) return i * 2 + 1;
        else if(i > len / 2) return (len - i - 1) * 2;
        else return len - 1;
    }
}

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

int main(void) {
    int arr[] = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1};

    //start
    int len = sizeof(arr) / sizeof(*arr);
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        if(arr[i] > 0) {
            int j = i, tmp = arr[i];
            while(arr[j = trans(len, j)] > 0) {
                swap(&tmp, &arr[j]);    // 每次與前一個交換
                arr[j] = 0 - arr[j];
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        arr[i] = 0 - arr[i];
    }

    //print
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
}

這個問題其實是一個經典問題，

完美洗牌問題：

玩過撲克牌的朋友都知道，在一局完了之后洗牌，洗牌人會習慣性的把整副牌大致分為兩半，兩手各拿一半對着對着交叉洗牌。

2004年，microsoft 的 Peiyush Jain 在他發表一篇名為：“A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle” 的論文中提出了完美洗牌算法。

什么是完美洗牌問題呢？即給定一個數組

a1，a2，a3， …， an， b1， b2， b3， ...， bn

最終把它置換成

b1， a1， b2， a2， a3， b3，…， bn， an

這個完美洗牌問題本質上與本題完全一致的，可以在O(n)內改成形式相同。

參考鏈接：

1. https://www.zhihu.com/question/50512830/answer/121386043

2. https://www.zhihu.com/question/50512830/answer/121334031

3. https://www.jianshu.com/p/9c841ad88ded