Python科學計算庫SymPy初探

SymPy基礎應用

 

 

 

SymPy基礎應用¶

 

Rational值¶

SymPy 具有用於處理有理數的Rational。 有理數是可以表示為兩個整數（分子 p 和非零分母 q）的商或分數 p / q 的任何數字。

In [1]:

from sympy import Rational

r = Rational(1/10)

val = r * 3
print(val.evalf())

val2 = 1/10 * 3
print(val2)

 

0.300000000000000
0.30000000000000004

In [2]:

print(type(val))
print(type(val2))

 

<class 'sympy.core.numbers.Rational'>
<class 'float'>

In [3]:

print(val.evalf())
print(val2)

 

0.300000000000000
0.30000000000000004

 

SymPy pprint¶

pprint()用於在控制台上漂亮地打印輸出。 LaTeX 可以達到最佳效果，例如 在 Jupyter 筆記本中。

prettify.py

In [4]:

from sympy import pprint, Symbol, exp, sqrt
from sympy import init_printing

init_printing(use_unicode=True)  # 對於某些字符，我們需要啟用 unicode 支持

x = Symbol('x')

a = sqrt(2)
pprint(a)
print(a)

print("------------------------")

c = (exp(x) ** 2)/2
pprint(c)
print(c)

 

√2
sqrt(2)
------------------------
 2⋅x
ℯ   
────
 2  
exp(2*x)/2

 

平方根¶

平方根是一個數字，乘以它會產生指定的數量。

In [5]:

from sympy import sqrt, pprint, Mul

x = sqrt(2)
y = sqrt(2)

pprint(Mul(x,  y, evaluate=False))  # 使用evaluate屬性推遲對乘法表達式的求值。
print('equals to ')
print(x * y)

 

√2⋅√2
equals to 
2

In [6]:

Mul(x,y)

Out[6]:

$\displaystyle 2$

 

SymPy 符號¶

符號計算適用於符號，以后可以對其進行求值。 使用符號之前，必須在 SymPy 中定義符號。

In [7]:

from sympy import Symbol, symbols
from sympy.abc import x, y

expr = 2*x + 5*y
print(expr)

a = Symbol('a')
b = Symbol('b')

expr2 = a*b + a - b
print(expr2)

i, j = symbols('i j')
expr3 = 2*i*j + i*j
print(expr3) 

 

2*x + 5*y
a*b + a - b
3*i*j

 

from sympy.abc import x, y 可以從sympy.abc模塊導入符號。 它將所有拉丁字母和希臘字母導出為符號，因此我們可以方便地使用它們。

 

SymPy 規范表達形式¶

SymPy 會自動將表達式轉換為規范形式。 SymPy 僅執行廉價操作； 因此，表達式可能無法求值為最簡單的形式。

In [8]:

from sympy.abc import a, b
expr = b*a + -4*a + b + a*b + 4*a + (a + b)*3
print(expr)

 

2*a*b + 3*a + 4*b

 

SymPy 擴展代數表達式¶

使用expand()，我們可以擴展代數表達式； 即該方法嘗試消除冪和乘法。

In [9]:

from sympy import expand, pprint
from sympy.abc import x

expr = (x + 1) ** 2

pprint(expr)

print('-----------------------')
print('-----------------------')

expr = expand(expr)
pprint(expr)

 

       2
(x + 1) 
-----------------------
-----------------------
 2          
x  + 2⋅x + 1

 

SymPy 簡化表達式¶

可以使用simplify()將表達式更改為更簡單的形式。

In [10]:

from sympy import sin, cos, simplify, pprint
from sympy.abc import x,y

expr = sin(x+y) / (sin(y)*cos(x))

pprint(expr)

print('-----------------------')

expr = simplify(expr)
pprint(expr)

 

  sin(x + y) 
─────────────
sin(y)⋅cos(x)
-----------------------
tan(x)    
────── + 1
tan(y)    

 

SymPy 比較表達式¶

SymPy 表達式與equals()而不是==運算符進行比較。

In [11]:

from sympy import pprint, Symbol, sin, cos

x = Symbol('x')

a = cos(x)**2 - sin(x)**2
b = cos(2*x)

print(a.equals(b)) #  在應用該方法之前，SymPy 嘗試簡化表達式。

# we cannot use == operator
print(a == b)

 

True
False

 

SymPy 求值表達式¶

可以通過替換符號來求值表達式。

In [12]:

from sympy import pi
print(pi.evalf(10))  # 保留十位有效數字

 

3.141592654

In [13]:

# 通過用數字替換a和b符號來求值表達式
from sympy.abc import a, b
from sympy import pprint
expr = b*a + -4*a + b + a*b + 4*a + (a + b)*3
print(expr.subs([(a, 3), (b, 2)]))

 

29

 

SymPy 求解方程¶

用solve()或solveset()求解方程。

In [14]:

from sympy import Symbol, solve
x = Symbol('x')
sol = solve(x**2 - x, x)
print(sol)

 

[0, 1]

 

solve()的第一個參數是公式。 該公式以適合 SymPy 的特定形式編寫； 即x**2 - x代替x**2 = x。 第二個參數是我們需要解決的符號。

或者，我們可以將Eq用於公式。

In [15]:

from sympy import pprint, Symbol, Eq, solve
x = Symbol('x')
eq1 = Eq(x + 1, 4)
pprint(eq1)
sol = solve(eq1, x)
print(sol)

 

x + 1 = 4
[3]

In [16]:

from sympy.solvers import solveset
from sympy import Symbol, Interval, pprint

x = Symbol('x')

sol = solveset(x**2 - 1, x, Interval(0, 50))
print(sol)

 

{1}

 

使用solveset()，我們找到了給定間隔的解決方案。

 

SymPy 序列¶

序列是其中允許重復的對象的枚舉集合。 序列可以是有限的或無限的。 元素的數量稱為序列的長度。 與集合不同，同一元素可以在序列中的不同位置出現多次。 元素的順序很重要。

In [17]:

from sympy import summation, sequence, pprint
from sympy.abc import x

s = sequence(x, (x, 1, 10))
print(s)
pprint(s)
print(list(s))

print(s.length)

print(summation(s.formula, (x, s.start, s.stop)))
# print(sum(list(s)))

 

SeqFormula(x, (x, 1, 10))
[1, 2, 3, 4, …]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
10
55

 

SymPy 極限¶

極限是函數（或序列）“接近”作為輸入（或索引）“接近”某個值的值。

In [18]:

from sympy import sin, limit, oo
from sympy.abc import x,y

l1 = limit(1/x, x, oo)
print(l1)

l2 = limit(exp(x)/(y), x, 1)
print(l2)

 

0
E/y

 

SymPy 矩陣¶

在 SymPy 中，我們可以使用矩陣。 矩陣是數字或其他數學對象的矩形數組，為其定義了運算（例如加法和乘法）。

矩陣用於計算，工程或圖像處理。

In [19]:

from sympy import Matrix, pprint

M = Matrix([[1, 2], [3, 4], [0, 3]])
print(M)
pprint(M)

N = Matrix([2, 2])

print("---------------------------")
print("M * N")
print("---------------------------")

pprint(M*N)

 

Matrix([[1, 2], [3, 4], [0, 3]])
⎡1  2⎤
⎢    ⎥
⎢3  4⎥
⎢    ⎥
⎣0  3⎦
---------------------------
M * N
---------------------------
⎡6 ⎤
⎢  ⎥
⎢14⎥
⎢  ⎥
⎣6 ⎦

 

SymPy 繪圖¶

SymPy 包含用於繪圖的模塊。 它基於 Matplotlib 構建。

In [20]:

import sympy
from sympy.abc import x
from sympy.plotting import plot
plot(sin(x))

 

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

Out[20]:

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x227ddeceec8>

 

一元函數的導函數¶

In [21]:

from sympy import *
x = symbols('x')
expr = sin(x) * exp(x)
pprint(diff(expr, x))

 

 x           x       
ℯ ⋅sin(x) + ℯ ⋅cos(x)

 

求不定積分¶

In [22]:

from sympy import *
x = symbols('x')
expr = exp(x) * sin(x) + exp(x) * cos(x)
pprint(integrate(expr, x))

 

 x       
ℯ ⋅sin(x)

 

求定積分¶

In [23]:

from sympy import *
x = symbols('x')
expr = exp(x) * sin(x) + exp(x) * cos(x)
pprint(integrate(expr, x, (x,-oo,oo)))

 

<-∞, ∞>

 

求微分方程的解¶

In [24]:

from sympy import *
y = Function('y')
t = Symbol('t')
sol = dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))
print(sol)

 

Eq(y(t), C2*exp(-t) + (C1 + t/2)*exp(t))

 

打印latex公式¶

In [25]:

from sympy import *
x = symbols('x')
expr = cos(x)**2
latex(Integral(expr, (x, 0, pi)))

Out[25]:

'\\int\\limits_{0}^{\\pi} \\cos^{2}{\\left(x \\right)}\\, dx'

In [26]:

latex(expr)

Out[26]:

'\\cos^{2}{\\left(x \\right)}'

In [27]:

pprint(Integral(expr, (x, 0, pi)))

 

π           
⌠           
⎮    2      
⎮ cos (x) dx
⌡           
0