DFT計算過程詳解

平時工作中，我們在計算傅里葉變換時，通常會直接調用Matlab中的FFT函數，或者是其他編程語言中已經為我們封裝好的函數，很少去探究具體的計算過程，本文以一個具體的例子，向你一步一步展示DFT的計算過程。

眾所周知，傅里葉變換的計算公式為：

 

對時域信號進行離散化：

 

根據歐拉定理：

 

DFT方程改寫為：

 

為第m個DFT輸出值，

 

 

 

為采樣點輸入，

 

 假設N=4：

 

 

 則：

m=0

 

m=1

 

 

 m=2

 

m=3

 

這里需要補充一個采樣率的概念。

假設對原始信號的采樣率為：

 

對原始信號做16點DFT進行分析，則基頻為：

 

則：

X(0) = 1^st   frequency term ,with analysis frequency = 0 .31.25 = 0Hz;

X(1) = 2^nd  frequency term ,with analysis frequency = 1.31.25 = 31.25Hz;

X(2) = 3^rd  frequency term ,with analysis frequency = 2 .31.25 = 62.5Hz;

X(3) = 4^th  frequency term ,with analysis frequency = 3 .31.25 = 93.75Hz;

分析頻率的公式可以計為：

 

下面進入正題，對一個特定信號進行DFT分析。

原始信號為：

 

可以看出此信號包含1kHz和2kHz的信號，現在一步一步的對此信號做8點DFT分析。

假設采樣率為，即每秒采集一個點，由於N=8，因此我們需要8個輸入采樣點來計算DFT，即對原始信號進行離散化為：

 

 

 如果采樣率samples/s,則DFT的結果將計算的是輸入信號x(n)在分析頻率，0KHz,1kHz,2KHz,...,7kHz處的梯度值。

則：

 

當m=1時，即計算原始信號在1kHz下的梯度值：

 

 

 

當m=2時，即計算原始信號在2kHz下的梯度值：

 

當m=3時，即計算原始信號在3kHz下的梯度值：

 

當m=4時，即計算原始信號在4kHz下的梯度值：

 

當m=5時，即計算原始信號在5kHz下的梯度值：

 

當m=6時，即計算原始信號在6kHz下的梯度值：

 

當m=7時，即計算原始信號在7kHz下的梯度值：

 

即8個梯度值計算完成：