I任務要求
1.1求解函數逼近問題
有21組單輸入矢量和相對應的目標矢量,試設計神經網絡來實現這對數組的函數關系
P = -1 : 0.1 : 1
T=[ -0.96 -0.577 -0.0729 0.377 0.641 0.66 0.461 0.1336
-0.201 -0.434 -0.5 -0.393 -0.1647 0.0988 0.3072
0.396 0.3449 0.1816 -0.0312 -0.2183 -0.3201]
測試集
P2= -1 : 0.025 : 1
II BP神經網絡
2.1 神經網絡
神經網絡是模擬人腦生物過程的具有人工智能的系統，是由大量非線性處理單元連接而成的網絡，具有高度非線性等特點，可以根據給定的學習樣本，不需要進行任何假設，建立系統的非線性輸入、輸出映射關系。神經網絡具有自學習、容錯能力強、並行計算等許多優點，被廣泛應用於線性系統的建模。
神經網絡模型可以分為前饋網絡、反饋網絡、自組織網絡和混合神經網絡。其中，前饋網絡的神經元分層排列，有輸入層、隱含層和輸出層，每一層神經元只接受前一層的輸入，並輸出到下一層，網絡中沒有反饋，實現信號從輸入空間到輸出空間的變換，其信息處理能力來源於簡單非線性函數的多次復合。這種結構的網絡通暢比較適合預測、模式識別、非線性函數的逼近等，誤差反向傳播（BP）網絡、線性網絡和徑向基函數（RBF）網絡就屬於此類網絡。[1]
2.2 BP網絡
前饋網絡中獲得最廣泛應用的是BP網絡，它是一種單向傳播的多層前饋網絡，網絡除輸入、輸出層節點外，還包括一層或多層隱含層節點，每一層節點的輸出只影響下一層節點的輸入。BP網絡主要用於系統辨識、模式識別、圖像處理、函數逼近、優化計算、最優預測和自適應控制等領域。
2.2.1 BP網絡模型
BP網絡是一種多層前饋神經網絡，包括輸入層，隱層(中間層)和輸出層，其中 隱層可以是一層也可以是多層，一般而言，三層BP神經網絡就可以解決大部分比較簡單的問題。BP網絡前后層之間實現全連接，每層神經元之間無連接。
圖1 BP神經網絡圖
圖 1所示為一個四層 BP網絡 ，其中隱層(中間層)為兩層，隱層的神經元個數為3個，輸入層、輸出層的神經元個數均為 2個。學習樣本給了BP網絡后，各神經元響應輸入，信號從輸入層，經隱層(中間層)，向輸出層傳播，根據減少預期輸出與實際輸出差距這一原則，從輸出層，經過各中間層，最后回到輸入層 ， 逐層修正各個連接權值 ，這種算法被稱為 “誤差逆傳播算法”，簡稱BP算法，隨着誤差逆傳播的不斷進行網絡響應輸入的正確率也不斷上升。
2.2.2算法過程
BP算法的過程大致如下 ：
（1）將各權值、閾值置為小的隨機數；
（2）從訓練數據中挑選一組數據（），將輸入數據X加到BP神經網絡的輸入層，T為預期輸出數據，上標K為訓練數據號；
（3）由計算從第一層直至輸出層各節點j的輸出，其中上標m為BP網絡的層標號，F為神經元的激勵函數，為BP網絡m-1層的i節點的輸出，為M-1層的i節點到m層的j節點的連接權值，M=M,M-1，···,1。
2.2.3 基於BP神經網絡的函數逼近
（1）隱層神經元數目的選擇需要經驗和多次試驗來確定，隱層神經元的數目與問題的復雜程度、輸入輸出神經元的數目都有關系，隱層神經元太多會導致網絡結構復雜，學習時間長等問題。
（2）傳遞函數的選擇十分重要，BP神經網絡的傳遞函數是處處可微的，常用的傳遞函數有Sigmoid型的對數函數、正切函數和線性函數。
（3）訓練函數對BP網絡的性能也有影響，可分為普通訓練函數和快速訓練函數。普通訓練函數主要有兩種，一種是批梯度下降訓練函數（traind），另一種是動量批梯度下降訓練函數（traingdm）。前者是根據批梯度下降算法，沿網絡性能參數的負梯度方向去調節BP神經網絡的權值和閾值，后者是引入一個動量項，每次BP網絡權值和閾值改變量中加入前一次的改變量。快速訓練函數分自適應修改學習率算法、彈回的BP算法、共軛梯度算法等。
III 函數逼近MATLAB實現
3.1 運行程序
當輸入為P = -1 : 0.1 : 1時，MATLAB代碼[3]為：
通過改變n的值、更換傳遞函數和訓練函數等可以得到不同的擬合效果。
3.2 運行結果
最佳運行選擇函數：隱層傳遞函數為tansig，輸出層傳遞函數為tansig，訓練函數為trainglm，隱層神經元數目為1~16時，最佳擬合效果如下：
圖2 神經網絡函數逼近擬合曲線
3.3 結果分析
3.3.1 隱層神經元數目分析
當采用同樣的傳遞函數和訓練函數時，隱層神經元數目不同導致結果不同，
圖3 n=4時神經網絡運行狀態及結果
圖4 n=9時神經網絡運行狀態及結果
圖5 n=16時神經網絡運行狀態及結果
可見，當N=8/9是最合適的，網絡結構相對簡單，收斂速度也快，擬合效果較佳。
3.3.2 訓練函數分析
圖6 訓練函數為trainrp 擬合結果
圖7 訓練函數為traincgp 擬合結果
圖8 訓練函數為traingdx 擬合結果
可見，traingd、traingdm是較差的訓練函數，收斂時間長；而訓練函數trainrp/traincgp等性能一般，trainlm是較佳的訓練函數，訓練時間短，擬合效果佳。
3.4 函數關系式
MATLAB代碼輸入
得結果為：simy =
2/(exp(2534319068038565/(562949953421312*(exp((3631672591091961*x)
/140737488355328+6863392162896721/281474976710656)+1)) + 5718237858863659/(18014398509481984*(exp((7444114435060467*x)/281474976710656-2920590510334957/281474976710656)+1)) -4407302316599713/(2251799813685248*(exp(-(3121532728107483*x)/140737488355328 - 4422873762208683/281474976710656) +1)) +
6681843142583089/(18014398509481984*(exp(1623302466041475/70368744177664-(7266061041617473*x)/281474976710656)+1)) - 1132865518096015/(562949953421312*(exp(2512097340583147/1125899906842624-(1559249268373737*x)/140737488355328)+1)) + 6045060497805921/(4503599627370496*(exp(5296108181129999/562949953421312-(1862916351889959*x)/140737488355328)+1)) - 4804294000663935/(4503599627370496*(exp((847671511961421*x)/35184372088832+3450827515650845/562949953421312)+1)) + 6639507791072923/(9007199254740992*(exp(- (7400247294894263*x)/281474976710656 - 3347678857733481/1125899906842624) +1)) +
5470015743536569/(4503599627370496*(exp(- (1964472234771961*x)/70368744177664 - 3192411785409777/281474976710656) + 1)) + 18338633840740381/18014398509481984) + 1) - 1
參考文獻
[1] 郝麗娜.計算機仿真技術及CAD.[M].北京.高等教育出版社.2014
[2] 孫帆，施學勤.基於MATLAB的BP神經網絡設計[J].計算機與數字工程,2007,35(8)
[3]鄭阿奇，曹戈.MATLAB實用教程[M].北京：電子工業出版社,2004，1-3