Pytorch在梯度方面提供的功能，大多是為神經網絡而設計的。而官方文檔給出的定義和解釋比較抽象。以下將結合實例，總結一下自己對Pytorch中梯度計算backward函數的理解。
1. 簡單的神經網絡構建
首先我們看一個非常簡單的神經網絡。
假設x1，x2是神經網絡的中間層，y是我們的輸出層，Y是真實值，L是loss。w1和w2是對應於x1和x2的weight。
上圖用數學公式表示為：
- \(x2= w1 * x1\)
- \(y = w2 * x2\)
- \(L = Y - y\)
通常我們會把x1，w1，w2，x2，y使用PyTorch的Tensor進行表示。L也可以用Tensor表示(維度可能與其他Tensor不同)。
其中，我們把需要自己設定的Tensor(即不是通過其他Tensor計算得來的)叫做葉子Tensor。比如x1，w1和w2就是所謂的葉子Tensor。
在pytorch中，我們把上述模型表示出來。
import torch
import numpy as np
x1 = torch.from_numpy( 2*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
x1.requires_grad_(True) #設置該tensor可被記錄操作用於梯度計算
w1 = torch.from_numpy( 5*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
w1.requires_grad_(True)
print("x1 =", x1)
print("w1 =", w1)
x2 = x1 * w1
w2 = torch.from_numpy( 6*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
w2.requires_grad_(True)
print("x2 =", x2)
print("w2 =", w2)
y = x2 * w2
Y = torch.from_numpy( 10*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
print("y =", y)
print("Y =", Y)
L = Y - y
x1 = tensor([[2., 2.],
[2., 2.]], requires_grad=True)
w1 = tensor([[5., 5.],
[5., 5.]], requires_grad=True)
x2 = tensor([[10., 10.],
[10., 10.]], grad_fn=<MulBackward0>)
w2 = tensor([[6., 6.],
[6., 6.]], requires_grad=True)
y = tensor([[60., 60.],
[60., 60.]], grad_fn=<MulBackward0>)
Y = tensor([[10., 10.],
[10., 10.]])
上述代碼注意：
- 設置一個tensor的 requires_grad為True 會保存該Tensor是否記錄所有操作用於計算梯度，可直接在創建tensor時指定屬性requires_grad = True，也可以使用函數x.requires_grad_(True)。
- 通過運算得到的Tensor（非自己創建的tensor），會自動被賦值grad_fn屬性。該屬性表示梯度函數。
2. 反向傳播的梯度計算
上述前向傳播計算完成后，想要計算反向傳播(BP)的梯度。基本原理即為求導的鏈式法則。上述網絡的求導即為：
PyTorch提供了backward函數用於計算梯度 ,這一求解過程變為:
L.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))
對於最后的Tensor L執行backward()函數，會計算之前參與運算並生成當前Tensor的葉子Tensor的梯度。其梯度值會保存在葉子Tensor的.grad屬性中。
比如上述網絡中，x1，w1和w2就是所謂的葉子Tensor。
print(x1.grad) # 查看L對於x1的梯度
print(w1.grad) # L對於w1的梯度
print(w2.grad)
tensor([[-30., -30.],
[-30., -30.]])
tensor([[-12., -12.],
[-12., -12.]])
tensor([[-10., -10.],
[-10., -10.]])
1. backward函數的gradient參數解釋
gradient 在PyTorch的官方文檔上解釋的比較晦澀，我理解這個參數表示的是 網絡的輸出tensor(假設為L)對於當前調用backward()函數的Tensor(假設為Y)的導數，即\(gradient = \frac{\partial L}{\partial Y}\)。
(1) 比如在我上述的模型輸出tensor為L，當前調用backward的tensor也為為L,則gradient表示為\(\frac{\partial L}{\partial L}=1\)，也就是element全為1的Tensor。gradient維度需要 與 調用backward()函數的Tensor的維度相同。即L.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))。
(2) 又比如，假設我們不知道L關於y的函數表示，但知道L關於y的梯度（即\(\frac{\partial L}{\partial y}=-1\)）時，我們可以在特定位置,比如中間節點y調用backward函數，通過y.backward(-1 * torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))來完成反向計算梯度過程。 這樣的設計通過鏈式法則，可以在特定位置求梯度值。
(3) 對於L為標量（常數）的情況，可不指定任何參數，默認參數為torch.tensor(1)。對於L為高於1維的情況，則需要明確指定backward()的第一個參數。
2. backward函數的其他注意點
(1) 默認同一個運算得到的Tensor僅能進行一次backward()。若要再次進行backward()，則要再次運算得到的Tesnor。
(2) 當多個Tensor從相同的源Tensor運算得到，這些運算得到的Tensor的backwards()方法將向源Tensor的grad屬性中進行數值累加。
比如上述實例中，假設有另一個tensor L2是通過對x1的運算得到的，那么L2.backward()執行后梯度結果將累加到x1.grad中。
print("x1.grad =",x1.grad) # 原來x1的梯度
L2 = x1 * x1
L2.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))
print("x1.grad =", x1.grad) # 計算L2的backward后梯度結果將累加到x1.grad中
x1.grad = tensor([[-26., -26.],
[-26., -26.]])
x1.grad = tensor([[-22., -22.],
[-22., -22.]])
(3) 只有葉子tensor(自己創建不是通過其他Tensor計算得來的）才能計算梯度。否則對於非葉子的x1執行L.backwar()后，x1.grad將為None。定義葉子節點時需注意要直接用torch創建且不能經過tensor計算。例如將實例中的x1定義改為x1 = 2 * torch.ones(2, 2, requires_grad=True, dtype=torch.float) 其實它已經做了tensor計算，x1將不再是葉子，表達式中torch.ones()才是葉子。