多層感知機

多層感知機的基本知識

深度學習主要關注多層模型。在這里，以多層感知機（multilayer perceptron，MLP）為例，介紹多層神經網絡的概念。

隱藏層

下圖展示了一個多層感知機的神經網絡圖，它含有一個隱藏層，該層中有5個隱藏單元。

表達公式

具體來說，給定一個小批量樣本\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)，其批量大小為\(n\)，輸入個數為\(d\)。假設多層感知機只有一個隱藏層，其中隱藏單元個數為\(h\)。記隱藏層的輸出（也稱為隱藏層變量或隱藏變量）為\(\boldsymbol{H}\)，有\(\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}\)。因為隱藏層和輸出層均是全連接層，可以設隱藏層的權重參數和偏差參數分別為\(\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}\)和 \(\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}\)，輸出層的權重和偏差參數分別為\(\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}\)和\(\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}\)。

我們先來看一種含單隱藏層的多層感知機的設計。其輸出\(\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}\)的計算為

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]

也就是將隱藏層的輸出直接作為輸出層的輸入。如果將以上兩個式子聯立起來，可以得到

\[ \boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o. \]

從聯立后的式子可以看出，雖然神經網絡引入了隱藏層，卻依然等價於一個單層神經網絡：其中輸出層權重參數為\(\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o\)，偏差參數為\(\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o\)。不難發現，即便再添加更多的隱藏層，以上設計依然只能與僅含輸出層的單層神經網絡等價。

激活函數

上述問題的根源在於全連接層只是對數據做仿射變換（affine transformation），而多個仿射變換的疊加仍然是一個仿射變換。解決問題的一個方法是引入非線性變換，例如對隱藏變量使用按元素運算的非線性函數進行變換，然后再作為下一個全連接層的輸入。這個非線性函數被稱為激活函數（activation function）。

幾個常用的激活函數：

ReLU函數

ReLU（rectified linear unit）函數提供了一個很簡單的非線性變換。給定元素\(x\)，該函數定義為

\[\text{ReLU}(x) = \max(x, 0). \]

可以看出，ReLU函數只保留正數元素，並將負數元素清零。

relu的梯度

Sigmoid函數

sigmoid函數可以將元素的值變換到0和1之間：

\[\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}. \]

依據鏈式法則，sigmoid函數的導數

\[\text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right). \]

下面繪制了sigmoid函數的導數。當輸入為0時，sigmoid函數的導數達到最大值0.25；當輸入越偏離0時，sigmoid函數的導數越接近0，面臨梯度消失的問題。

tanh函數

tanh（雙曲正切）函數可以將元素的值變換到-1和1之間：

\[\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}. \]

我們接着繪制tanh函數。當輸入接近0時，tanh函數接近線性變換。雖然該函數的形狀和sigmoid函數的形狀很像，但tanh函數在坐標系的原點上對稱

依據鏈式法則，tanh函數的導數

\[\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x). \]

下面繪制了tanh函數的導數。當輸入為0時，tanh函數的導數達到最大值1；當輸入越偏離0時，tanh函數的導數越接近0，也面臨梯度消失的問題。

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關於激活函數的選擇

ReLu函數是一個通用的激活函數，目前在大多數情況下使用。但是，ReLU函數只能在隱藏層中使用。
用於分類器時，sigmoid函數及其組合通常效果更好。由於梯度消失問題，有時要避免使用sigmoid和tanh函數。
在神經網絡層數較多的時候，最好使用ReLu函數，ReLu函數比較簡單計算量少，而sigmoid和tanh函數計算量大很多。
在選擇激活函數的時候可以先選用ReLu函數如果效果不理想可以嘗試其他激活函數。

多層感知機

多層感知機就是含有至少一個隱藏層的由全連接層組成的神經網絡，且每個隱藏層的輸出通過激活函數進行變換。多層感知機的層數和各隱藏層中隱藏單元個數都是超參數。以單隱藏層為例，多層感知機按以下方式計算輸出：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]

其中\(\phi\)表示激活函數。