matlab練習程序（龍格庫塔法）

非剛性常微分方程的數值解法通常會用四階龍格庫塔算法，其matlab函數對應ode45。

對於dy/dx = f(x,y)，y(0)=y0。

其四階龍格庫塔公式如下：

對於通常計算，四階已經夠用，四階以上函數f(x,y)計算工作量大大增加而精度提高較慢。

下面以龍格庫塔法解洛倫茲方程為例：

matlab代碼如下：

main.m：

clear all;
close all;
clc;

%系統龍格庫塔法
[t,h] = ode45(@test_fun,[0 40],[12 4 0]);
plot3(h(:,1),h(:,2),h(:,3));
grid on;

%自定義龍格庫塔法
[t1,h1]=runge_kutta(@test_fun,[12 4 0],0.01,0,40);
figure;
plot3(h1(1,:),h1(2,:),h1(3,:),'r')
grid on;

runge_kutta.m（函數參考網絡）：

%參數表順序依次是微分方程組的函數名稱，初始值向量，步長，時間起點，時間終點（參數形式參考了ode45函數）
function [x,y]=runge_kutta(ufunc,y0,h,a,b)
n=floor((b-a)/h);       %步數
x(1)=a;                 %時間起點
y(:,1)=y0;              %賦初值，可以是向量，但是要注意維數
for i=1:n               %龍格庫塔方法進行數值求解    
    x(i+1)=x(i)+h;    
    k1=ufunc(x(i),y(:,i));  
    k2=ufunc(x(i)+h/2,y(:,i)+h*k1/2);    
    k3=ufunc(x(i)+h/2,y(:,i)+h*k2/2);   
    k4=ufunc(x(i)+h,y(:,i)+h*k3);   
    y(:,i+1)=y(:,i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end

test_fun（洛倫茲方程）：

%構造微分方程
function dy=test_fun(t,y)
a = 16;
b = 4;
c = 45;

dy=[a*(y(2)-y(1));
    c*y(1)-y(1)*y(3)-y(2);
    y(1)*y(2)-b*y(3)];

得到很經典的洛倫茲吸引子，結果如下：

參考：

https://wenku.baidu.com/view/8211fbd428ea81c758f57893.html