滑塊拼圖

 

這個圖相信大家都不陌生，沒錯，今天我們要探討的就是滑塊拼圖這個游戲的一些性質

這里先放一個滑塊拼圖的定義：

翻譯過來大概是： 一個 n×m 的滑塊拼圖指的是 把 n×m-1 個滑塊放在一個 m 行 n 列的網格里玩的游戲

接下來，我們一起研究一下以下這些問題：

⒈對於一個 n×m 的滑塊拼圖，一共有多少種排列組合方式？  (n×m)!

理由：把空格也當成一個滑塊，一共有 n×m 個互不相同的滑塊，共種排列方法

⒉所有的組合都是合法的嗎？（合法指能夠還原到順序排列狀態）不是

理由：舉個例子就知道了

　　　　

如上圖，不管怎么移動，2 和 3的位置都無法互換

3.怎么判斷一種組合是否合法？

對於 一個 n×n 的網格，先將表格鋪平：

計算 N=逆序數對之和（不算空格），e=空格所在的行數

若n為奇數，當且僅當 N為偶數 時合法

若n為偶數，當且僅當 N+e為偶數 時合法

理由：這個比較復雜，我們分三個命題證明一下

命題1：當 n為奇數時，移動后 N奇偶性不變

首先，某一滑塊左右移動，不影響滑塊相對順序，N不變

其次，某一滑塊上下移動，N不改變奇偶性，為什么呢？

我們來看張圖：

一滑塊上下移動一次，在鋪平后的序列上相當於跨過了 (n-1) 個數

原本，這 (n-1) 個數每個都和此滑塊構成了一個順序對或逆序對，不妨設其中順序對有 a 個，逆序對有 b 個 (a+b=n，a>=0，b>=0)

移動后，順序對變為逆序對，逆序對變為順序對，即 順序對有 b 個，逆序對有 a 個

因為 n 為奇數，所以 (n-1) 為偶數

所以 a，b 均為偶數 或 a，b 均為奇數

互換后，這 (n-1) 個數對中逆序對奇偶性不變

又因為此滑塊的上下移動不對其它數對造成影響 ，所以 N 奇偶性不變

命題2：當 n為偶數時，移動后 N+e 奇偶性不變

還是，某一滑塊左右移動均不對 N，e 造成影響，N+e 不變

然后，我們再來看一下某一滑塊上下移動的圖：

這次，n 為偶數，所以 (n-1) 為奇數

所以 a，b 一奇一偶

互換后，這 (n-1) 個數對中逆序對奇偶性改變

又因為此滑塊的上下移動不對其它數對造成影響 ，所以 N 奇偶性改變

但因為此滑塊上下移動時，e 的奇偶性也必然改變，所以 N+e 奇偶性不變

命題3：滑塊順序排列時，滑塊拼圖滿足上述判定條件

當 n 為奇數且滑塊順序排列時，N=0，為偶數

當 n 為偶數且滑塊順序排列時，N=0，e=n，N+e=n，為偶數

又因為每步移動均符合命題1和命題2，所以判定成立