完全忘了TnT
然而這種類型的題目好像沒考過..ａｓａｓ
先復習一下萬能的burnside引理，
啊不先復習一下定義（有些是本蒻自己yy的可能並不准確）
一個物體：被染色的對象
一個元素：一種染色方案
一個置換\(g\)：一種讓物體交換位置的變換方法
一個置換群\(G\)：里面的置換滿足封閉性結合律單位元逆元
一個不動點（對於一個置換i來說的）：被該置換作用后，不發生改變的一個元素（數目記為\(c_i\)）
一個不動置換類（對於一個元素k來說的）：作用在該元素上使該元素不發生改變的一個置換（數目記為\(Z_k\)）
一個等價類（對於一個元素k來說的）：在G中所有置換作用下k的軌跡，即變化成所有元素的集合（記為\(E_k\)）
等價類數目（對於一個置換群G來說的）：G的作用把全集分成的等價類的個數..（記為L）
問：給一串珠子染色，旋轉/翻轉同構算一種，某某顏色還不能挨着，某某顏色還必須挨着...
有幾種染色方案？
即求等價類數目，此時需要搬出burnside引理
詭譎的翻譯：所有置換的不動點的平均值
還是先理解一個比\(L=\frac{1}{|G|} \sum c_i\)直觀一點的事實
\(|G|=|Z_k|*|E_k|\)（對任意元素k）
置換群的一個優美性質是 能使群內元素到達它所在等價類的所有位置的置換數目都相同
也就是說若\(E_x==E_y\),使\(k_0->k_1\)的置換數目\(num（k_0->k_1）=\frac{|G|}{|E_k|}\)
而\(num（k->k）=|Z_k|\)，故\(|Z_k|=\frac{|G|}{|E_k|}\)
故\(|G|=|Z_k|*|E_k|\)
翻譯：對任意元素k，置換總數|G|=k所在等價類中元素的\(|Z|\)之和
那么每個\(|G|\)都可以代表某一個等價類的\(|Z|\)之和，
用\(L\)個\(|G|\)就能代表所有元素的\(|Z|\)之和。
\(L*|G|=\sum|Z|\)
統計“置換作用於元素但元素未改變”這一事件發生的數量
\(\sum|Z|=\sum c_i\)
故
\(L*|G|=\sum\ c_i\)
\(L=\frac{1}{|G|} \sum c_i\)
問題有了頭緒，求每個置換的不動點數目就行了
然后burnside引理有個延伸/具體化叫polya定理
如果沒有顏色相鄰的要求，即所有顏色平等化的話，
基本沒怎么變，但是求每個置換的循環節就行了
在一些等價類計數問題中，只需用（tao）到（shang）上述理論
再用一些其他計數算法去計算每個置換的不動點數目/循環節數目就能解決..
只做過幫助理解的一些淼題..
「card」
burnside+dp
「周末晚會」
burnside+dp
「color」
polya+math
「Magic Bracelet」
burnside+dp
「有色圖」
這道不是淼題，
而是我感覺很難的一道題..