十一、Powell算法（鮑威爾算法）原理以及實現

一、介紹

　　Powell算法是圖像配准里面的常用的加速算法，可以加快搜索速度，而且對於低維函數的效果很好，所以本篇博客主要是為了介紹Powell算法的原理以及實現。

　　由於網上已經有了對於Powell算法的講解，所以我只是把鏈接放出來（我覺得自己目前還沒有這個講解的能力），大家自己去了解。

　　放在這里主要也是為了節省大家搜索的時間。（都是我辛辛苦苦搜出來的^-^）。

二、預備知識

　　了解一維搜索算法：進退法，消去法，黃金分割法

　　閱讀以下博客：https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/51088650

三、鮑威爾算法

　　具體原理閱讀這里：

　　參考博客：https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/51028074

　　原理與例子（一個例子的計算過程）：https://www.docin.com/p-956696217.html

四、matlab代碼實現一個簡單函數的求解

　　代碼來源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_743c53600100vhdn.html

　　這個代碼的程序與思路很是簡潔，我覺得寫得很好。

　　原文代碼放在這里：

　　文件：MyPowell.m　

function MyPowell()
syms x1 x2 x3 a;
f=10*(x1+x2-5)^4+(x1-x2+x3)^2 +(x2+x3)^6;
error=10^(-3);
D=eye(3);
x0=[0 0 0]'; 
for k=1:1:10^6
    MaxLength=0;x00=x0;m=0;
    if k==1,s=D;end
    for i=1:3
            x=x0+a*s(:,i);
            ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});
            t=Divide(ff,a);                        %調用了進退法分割區間
            aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t);    %調用了0.618法進行一維搜索
            xx=x0+aa*s(:,i);
            fx0=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});
            fxx=subs(f,{x1,x2,x3},{xx(1),xx(2),xx(3)});
            length=fx0-fxx;
            if length>MaxLength,MaxLength=length;m=m+1;end
            x0=xx;
    end
    ss=x0-x00;
    ReflectX=2*x0-x00;
    f1=subs(f,{x1,x2,x3},{x00(1),x00(2),x00(3)});
    f2=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});
    f3=subs(f,{x1,x2,x3},{ReflectX(1),ReflectX(2),ReflectX(3)});
    if f3<f1&&(f1+f3-2*f2)*(f1-f2-MaxLength)^2<0.5*MaxLength*(f1-f3)^2
        x=x0+a*ss;
        ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});
        t=Divide(ff,a);
        aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t);
        x0=x0+aa*ss;
        for j=m:(3-1),s(:,j)=s(:,j+1);end
        s(:,3)=ss;
    else
        if f2>f3, x0=ReflectX;end
    end
   if norm(x00-x0)<error,break;end
        k;
        x0;
end
opx=x0;
val=subs(f,{x1,x2,x3},{opx(1),opx(2),opx(3)});
disp('最優點：');opx'
disp('最優化值：');val
disp('迭代次數：');k

　　文件  Divide.m  ：

% 進退法
%對任意一個一維函數函數進行區間分割，使其出現“高—低—高”的型式

function output=Divide(f,x,m,n)

if nargin<4,n=1e-6;end

if nargin<3,m=0;end

step=n;

t0=m;ft0=subs(f,{x},{t0});

t1=t0+step;ft1=subs(f,{x},{t1});

if ft0>=ft1

    t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    while ft1>ft2

        t0=t1;

        %ft0=ft1;

        t1=t2;ft1=ft2;

        step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    end

else 

    step=-step;

    t=t0;t0=t1;t1=t;ft=ft0;

    %ft0=ft1;

    ft1=ft;

    t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    while ft1>ft2

        t0=t1;

        %ft0=ft1;

        t1=t2;ft1=ft2;

        step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    end

end
output=[t0,t2];

　　文件：OneDemensionslSearch.m

% 0.618法
function output=OneDemensionslSearch(f,x,s,r)

if nargin<4,r=1e-6;end

a=s(1);b=s(2);

a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});

a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});

while abs((b-a)/b)>r && abs((fa2-fa1)/fa2)>r

  if fa1<fa2

     b=a2;a2=a1;fa2=fa1;a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});

  else

     a=a1;a1=a2;fa1=fa2;a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});

  end

end

op=(a+b)/2;

%fop=subs(f,{x},{op});

output=op;

　　全部放到同一個工程目錄里面，設置為當前目錄，然后輸入Powell即可運行得到結果。

　　這個代碼的思路與鮑威爾算法的思路是完全符合的，而且很是簡潔。