傳輸線基本理論

1.傳輸線的集總電路模型

取一段無線小長\(\Delta\)z

從基爾霍夫電壓和基爾霍夫電流推到出微分方程

對於簡諧穩態條件，具有余弦型的向量形式，可以簡化為

聯立求解上述電報方程可得傳輸線上的波方程

2. 無耗傳輸線

低耗傳輸線的傳播常數和特征阻抗可以認為線是無耗的而得到的很好第近似。

無耗傳輸線中傳播常數β為

\[\beta=\omega\sqrt{LC} \]

相速是

\[v=\frac{\omega}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \]

波阻抗

\[Z=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \]

注意：傳播常數、波阻抗與無耗媒質中的平面波是相同的。

3.特性阻抗

瞬態阻抗：傳輸線不均勻
特性阻抗：傳輸線均勻
對於無耗傳輸線特性阻抗，可以用單位長度電感和電容表示

\[Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}} \]

3.1影響特性阻抗的因素

• 線寬的影響
  線寬對電感的影響：矩形走線的自感可近似表示為
  
  \(l\)是走線長度，\(w\)是走線寬度，\(t\)是銅箔厚度。當\(l>>w+t\)時，電感大小主要由\(ln(\frac{2l}{w+t})\)決定，線寬越大電感越小（線寬越大，電流越分散，電感越小）。

線寬對電容的影響：線寬越大，走線和平面之間的電力線越多的集中在介質區域，單位長度電容越大。

介質厚度的影響

介質厚度增加時，兩個導體間距增加，互感減小，單位長度電感增加，電容減小。因此介質厚度增大會增大介電常數。

介電常數的影響

單位長度電感與介電常數無關，另外根據平板電容特性，介電常數越大，單位長度電容越大。因此介電常數越大，特性阻抗越小

銅箔厚度的影響

銅箔的厚度會影響走線的電感和電容。當\(l>>w+t\)時，電感大小主要由\(ln(\frac{2l}{w+t})\)決定，越厚，電感越小；而當厚度增大時，由於邊緣場效應，電容增大。因此銅箔越厚，阻抗越小。

4. 端接負載的傳輸線

電壓反射系數\(\Gamma\)：

\[\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0} \]

回波損耗(return loss, RL)：但負載失配時，不是所有來自源的功率都傳給了負載

\[RL=-20\log |\Gamma| dB \]

若負載與線是匹配的，則\(\Gamma\)=0,而且線上電壓幅值為常數。然而，當負載失配時，反射波的存在會導致駐波，這時線上的電壓幅值不是常數，會沿線起伏。

駐波比：可以定義為：

\[\rho=\frac{V_{max}}{V_{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} \]

傳輸線的阻抗方程：

\[Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l} \]

4.1 無耗傳輸線的特殊情況

傳輸線模型如圖所示

• 當傳輸線的一端是短路的，即\(Z_L=0\)，此時\(\Gamma\)=-1，在負載處，V=0，而電流是極大值。
• 當為開路線時，\(\Gamma\)=1，在負載處，電壓取極大值，而電流為0

現考慮一些特定長度的線

• 若線的長度是\(\lambda\)/2的整數倍，\(Z_{in}=Z_L\)，則線不改變負載阻抗。
• 若線的長度是\(\lambda\)/4或者l=\(\lambda\)/4+n\(\lambda\)/2（四分之一波長變換器），它講以倒數的形式變換負載阻抗，當然也依賴於特性阻抗，其輸入阻抗為

\[Z_{in}=\frac{Z_0^2}{Z_L} \]

插入損耗：一特征阻抗為Z~0~的傳輸線饋接到具有不同特征阻抗的\(Z_1\)的傳輸線上，若負載無線長（或接到它自身的特征阻抗線上）,則沒有反射來自其終端。透射系數為：

\[T=1+\Gamma=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_0} \]

兩點間的插入損耗(IL, insertion loss)為

\[IL=-20log|T| dB \]

4.2 四分之一波長變換器

若負載電阻\(R_L\)和饋線特征阻抗\(Z_0\)都是實數並假定已知，為了使反射系數為0，則有\(Z_{in}=Z_0\)，特性阻抗\(Z_1\)為

\[Z_1=\sqrt{Z_0Z_L} \]

他是負載與源阻抗的幾何平均。因而在饋線上沒有駐波，然而在\(\lambda\)/4匹配段內會有駐波存在。

備注：上述條件匹配段的長度為四分之一波長或其奇數倍，因此只能存在一個頻點上獲得完全的匹配，其他頻率上將會失配。

5. Smith圓圖

阻抗圓圖的特點

• 圓圖中心為匹配點；實軸上的所有點（除兩端外）表示純歸一化電阻，這是因為當x=0時，等x圓的半徑為\(\infty\)，等x圓退化為實軸；實軸左端點對應\(\Gamma\)=-1,z=0是短路點；實軸右端點對應\(\Gamma\)=1,z=\(\infty\)，是開路點。
• 圓圖的單位圓對應於\(\Gamma\)=1,r=0,z=jx，故該圓是純歸一化電抗圓。實軸以上半圓的等x圓曲線對應x>0，故上半圓中各點代表各種不同數值的感性復阻抗的歸一化值；實軸以下的等x圓曲線對應x<0，故下半圓中各點代表不同數值的容性復阻抗的歸一化值。
• 圓圖的右半軸上的點對應於傳輸線上電壓的同相位點，故是電壓的波腹點，r的值即為電壓駐波系數\(\rho\)的值；左半實軸上的點對應於傳輸線上電壓的波節點，r的值即為行波系數K的值。
• 圓外刻度按順時針方向增加，表示向波源方向；圈內刻度按逆時針方向增加，表示向負載方向。（這是因為以規定z=0為傳輸線的負載端，z的正向是負載指向波源。隨着z等增加，相應與傳輸線上的點向波源方向移動，發射系數的幅角隨之減小，在圓圖上應順時針方向旋轉。）