【CSP2019】樹上的數
題面
題解
我們設每個點上的編號分別為\(a_1,a_2...a_n\)。
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菊花
假設現在菊花中心編號是\(rt\)，設你依次拆邊\((p_1,rt),(p_2,rt)...(p_{n-1},rt)\)，那么最后你會發現\(a_{rt}\)到了點\(p_1\)，\(a_{p_1}\)到了點\(p_2...a_{p_{n-1}}\)到了\(rt\)。
我們把點按照\((rt,p_1,p_2...p_{n-1})\)排出來，那么操作就相當於每個點上的數字向后挪了一位。
於是可以想到貪心構造輪換的過程，就是說按照\(1,2,3...n\)，每個數字選擇自己在環上的下一個點是什么，因為你最后肯定是個大環，所以中間過程中不能出現小環，所以用並查集維護一下即可。
鏈
鏈有幾個很顯然的性質，假如數字\(a_u\)要跑到\(v\)去（假設方向從左往右），那么對於\(u\)，你必須\(u\)兩邊的刪邊順序先右后左，對於\(u,v\)中間的點，一定要是保證刪邊是連續的所以中間的所有點刪邊順序先左后右。
我們將每個點打上一個標記\(tag_i\in\{0,1,2\}\)分別表示沒有刪邊，先右后左，先左后右，那么你肯定還是貪心地去換，如果中間有標記沖突了就證明換不了。
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和鏈一樣，還是考慮如果要將\(a_u\)放到\(v\)去，我們這張圖需要滿足條件是啥：
- \(u\)在\(v\)方向上的邊是\(u\)出邊中第一個被刪除的
- 路徑\(u,v\)上刪邊連續
- \(v\)在\(u\)方向上的邊是\(v\)入邊中最后一個被刪除的
考慮對於所有的點\(u\)，將它的所有出邊抽象成一張圖，用一條有向邊表示刪邊的先后關系（即若\(i\rightarrow j\)，則\(j\)必須在選\(i\)后馬上選），同時對於\(\forall u\)它們的圖都是不相關的。
顯然所有的點出度至多為\(1\)，那么這樣的圖就是很多條鏈（有些鏈中間互不影響，所以會有多條），記錄一下每一條鏈的開頭和結尾，那么判定一張圖合法的情況有一下三種：
- 圖不是由若干條鏈組成的
- 第一個點有入邊，最后一個點有出邊
- 第一個點和最后一個點在同一條鏈中，但是有其他的點不在這條鏈中
和鏈一樣貪心，用並查集判斷一下是否合法即可，實現細節詳見代碼（這題細節是真的多）。
代碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int gi() {
register int data = 0, w = 1;
register char ch = 0;
while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();
if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
return w * data;
}
const int MAX_N = 2e3 + 5;
struct Graph { int to, next; } e[MAX_N << 1];
int fir[MAX_N], e_cnt;
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; }
void Add_Edge(int v, int u) { e[e_cnt] = (Graph){v, fir[u]}, fir[u] = e_cnt++; }
int N, w[MAX_N];
struct Node {
int deg, beg, end, pa[MAX_N];
bool st[MAX_N], ed[MAX_N];
void clear() {
deg = 0, beg = end = -1;
for (int i = 0; i <= N; i++) st[i] = ed[i] = 1, pa[i] = i;
}
int getf(int x) { while (x != pa[x]) x = pa[x] = pa[pa[x]]; return x; }
} t[MAX_N];
int Find(int x, int id) {
int res = N + 1;
if (~id && (t[x].end == -1 || t[x].end == id)) {
if (t[x].ed[id] && (t[x].beg == -1 || t[x].deg <= 1 || t[x].getf(id) != t[x].getf(t[x].beg))) res = x;
}
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
if (id == (i >> 1)) continue;
int ed = i >> 1;
if (~id) {
if (id == t[x].end || ed == t[x].beg || t[x].getf(id) == t[x].getf(ed)) continue;
if (!t[x].ed[id] || !t[x].st[ed]) continue;
if (~t[x].beg && ~t[x].end && t[x].deg > 2 &&
t[x].getf(id) == t[x].getf(t[x].beg) && t[x].getf(ed) == t[x].getf(t[x].end)) continue;
res = min(res, Find(e[i].to, ed));
} else {
if (t[x].beg == -1 || t[x].beg == ed) {
if (!t[x].st[ed]) continue;
if (~t[x].end && t[x].deg > 1 && t[x].getf(ed) == t[x].getf(t[x].end)) continue;
res = min(res, Find(e[i].to, ed));
}
else continue;
}
}
return res;
}
bool Link(int x, int id, int p) {
if (x == p) return t[x].end = id, 1;
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
if (id == (i >> 1)) continue;
int ed = i >> 1;
if (Link(e[i].to, ed, p)) {
if (~id) {
t[x].ed[id] = t[x].st[ed] = 0, --t[x].deg;
t[x].pa[t[x].getf(id)] = t[x].getf(ed);
}
else t[x].beg = ed;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
int T = gi();
while (T--) {
clearGraph();
N = gi(); for (int i = 1; i <= N; i++) w[i] = gi(), t[i].clear();
if (N == 1) { puts("1"); continue; }
for (int i = 1; i < N; i++) {
int u = gi(), v = gi();
Add_Edge(u, v), Add_Edge(v, u);
++t[u].deg, ++t[v].deg;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) {
int p = Find(w[i], -1);
Link(w[i], -1, p);
printf("%d ", p);
}
putchar('\n');
}
return 0;
}