[LOJ#2743][DP]「JOI Open 2016」摩天大樓

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• DP 經典題

• 考慮從小到大把數加入排列內

• 如下圖（\(A\) 已經經過排序）：

• 我們考慮如上，在 \(i\) （ \(A_i\) ）不斷增大的過程中，維護上面直線 \(y=A_i\) 之下的部分的長度之和

• 於是我們定義 DP ：\(f[i][j][k][h]\) 表示插入了前 \(i\) 個數，分成 \(j\) 段，\(y=A_i\) 之下的部分長度之和為 \(k\) ，並且選出了 \(k\) （ \(0/1/2\) ）個邊界（第 \(1\) 個或第 \(n\) 個）的方案數

• 注意這個 DP 中我們只需要保證每段是否在邊界以及相鄰兩段之間有空位即可，不關心每段的實際位置

• 不難發現，從 \(f[i][j][k][h]\) 轉移到 \(f[i+1]\) ，\(k\) 的增量是固定的，即對於每個段的兩端，將直線從 \(y=A_i\) 移到 \(y=A_{i+1}\) 時每端都會多出 \(A_{i+1}-A_i\) 的長度（邊界除外），於是 \(f[i][j][k][h]\) 轉移到 \(f[i+1]\) 時 \(k\) 的增量為 \((A_{i+1}-A_i)\times(2j-h)\) ，設其為 \(w\) 。下面討論幾種情況進行轉移：

• （1）新建一段，這一段可以放在邊界除外的任意 \(j+1\) 個空隙內：

• \[f[i+1][j+1][w][h]+=f[i][j][k][h]\times(j+1-h) \]

• （2）合並兩段：

• \[f[i+1][j-1][w][h]+=f[i][j][k][h]\times(j-1) \]

• （3）放在其中一段的其中一端，不改變段數，只讓該段長加 \(1\) ：

• \[f[i+1][j][w][h]+=f[i][j][k][h]\times(2j-h) \]

• （4）新建一段並欽定其為邊界：

• \[f[i+1][j+1][w][h+1]+=f[i][j][k][h]\times(2-h) \]

• （5）接在最左段（不能為邊界）的左端並欽定為邊界，或接在最右段（不能為邊界）的最右端並欽定為邊界：

• \[f[i+1][j][w][h+1]+=f[i][j][k][h]\times(2-h) \]

• 答案為 \(\sum_{i=0}^Lf[n][1][i][2]\) ，復雜度 \(O(n^2L)\) ，可以將第一維滾動以優化空間

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define vf(ii, jj) f[op ^ 1][ii][w][jj]

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	if (bo) res = ~res + 1;
}

const int N = 105, M = 1005, rqy = 1e9 + 7;

int n, l, a[N], f[2][N][M][3], ans;

int main()
{
	read(n); read(l);
	for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
	if (n == 1) return puts("1"), 0;
	std::sort(a + 1, a + n + 1);
	f[0][0][0][0] = 1; a[0] = a[1];
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int op = i & 1;
		for (int j = 0; j <= i + 1; j++)
			for (int k = 0; k <= l; k++)
				f[op ^ 1][j][k][0] = f[op ^ 1][j][k][1] = f[op ^ 1][j][k][2] = 0;
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			for (int k = 0; k <= l; k++)
				for (int h = 0; h < 3; h++)
				{
					if (!f[op][j][k][h]) continue;
					int w = k + (a[i + 1] - a[i]) * (j * 2 - h), cf = f[op][j][k][h];
					if (w > l) continue;
					vf(j + 1, h) = (1ll * (j + 1 - h) * cf + vf(j + 1, h)) % rqy;
					if (j) vf(j - 1, h) = (1ll * (j - 1) * cf + vf(j - 1, h)) % rqy;
					vf(j, h) = (1ll * (j * 2 - h) * cf + vf(j, h)) % rqy;
					if (h < 2)
					{
						if (j) vf(j, h + 1) = (1ll * (2 - h) * cf + vf(j, h + 1)) % rqy;
						vf(j + 1, h + 1) = (1ll * (2 - h) * cf + vf(j + 1, h + 1)) % rqy;
					}
				}
	}
	for (int i = 0; i <= l; i++) ans = (ans + f[n & 1][1][i][2]) % rqy;
	return std::cout << ans << std::endl, 0;
}