K. Color Graph
題意:
給定一個簡單圖，點個數<=16，刪去部分邊后，使得該圖中無邊數為奇數得環，問剩下的邊數最大為多少？
思路:
如果一個圖中無奇數邊的環，那么這個圖一定是個二分圖。只要枚舉二分圖的左部，統計所有從左部到右部的邊個數，答案就是枚舉出的所有邊數的最大值。(因為最優解一定也是一個二分圖，所以一定會被枚舉到)
//賽后補題，只過樣例，僅供參考
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxm=1e4+5;
struct edge{
int u,v;
}E[maxm];
int tot=0;
void addedge(int u,int v){
E[++tot].u=u;
E[tot].v=v;
}
int color[maxn];
int main(){
int T;
cin>>T;
for(int kase=1;kase<=T;kase++){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
fill(color,color+1+n,0);
tot=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
}
int ans=0;
for(int meijv=0;meijv<=(1<<n)-1;meijv++){
int mj=meijv;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(mj&1){
color[i]=1;
}
else color[i]=0;
mj>>=1;
}
int res=0;
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(color[E[i].u]!=color[E[i].v]){
res++;
}
}
ans=max(ans,res);
}
printf("Case #%d: %d\n",kase,ans);
}
}
D. Spanning Tree Removal
題意:
給定一個n階的完全圖，每次操作是從圖中移除一棵生成樹的所有邊，問最多能進行多少次這樣的操作？輸出操作次數和每次移除的生成樹的邊。
思路:
n階完全圖共有n*(n-1)/2條邊，一棵生成樹有n-1條邊，很容易猜到能進行n/2次操作，接下來就是如何構造的問題。
下面給出一種直接構造的方法(奇數就孤立出一個點隨便連即可)
//賽后補題，只過樣例，僅供參考
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int T;
cin>>T;
for(int kase=1;kase<=T;kase++){
int n;
scanf("%d",&n);
printf("Case #%d: %d\n",kase,n/2);
if(n%2==0){
for(int i=1;i<=n/2;i++){
printf("%d %d\n",i,i+1);
for(int j=1;j<=n/2-1;j++){
int u=i+j;
int v=(u+n-j*2-1)%n+1;
printf("%d %d\n",u,v);
printf("%d %d\n",v,u+1);
}
}
}
else{
n--;
for(int i=1;i<=n/2;i++){
printf("%d %d\n",i,i+1);
for(int j=1;j<=n/2-1;j++){
int u=i+j;
int v=(u+n-j*2-1)%n+1;
printf("%d %d\n",u,v);
printf("%d %d\n",v,u+1);
}
printf("%d %d\n",i,n+1);
}
}
}
}
H. Tree Partition
題意:
給出一棵點權樹，一個樹的大小定義為所有點的權值和。問將一棵樹分為k棵子樹，如何分割才能使所有樹的大小的最大值最小？
思路:
二分答案，已知最大連通子圖的大小x后，只要在樹上從樹根向上dp子樹的大小即可。如果一個子樹u的大小大於x，則先選擇u最大的兒子v切除(即切割邊u,v)，這樣能保證剩下的部分大小盡可能地小。這樣保證了圖上所有的連通子圖的都是小於x的，同時也是用貪心的方法選擇切割方案(每個子樹都盡可能地取到最大，使剩下部分盡可能小)，得到的就是最小的切割次數。
實現方法：若判斷發現一個節點u的權值大於x，則將他的兒子節點排序，從大到小依次刪除，直到u的權值小於x。
//賽后還原，僅供參考
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;
struct edge{
int v,next;
}E[maxn];
int head[maxn],tot;
void addedge(int u,int v){
E[++tot].v=v;
E[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
}
ll a[maxn],sum[maxn];
int flag=0,cnt;
int n,k;
void dfs(int u,int fa,ll x){
sum[u]=a[u];
if(sum[u]>x||flag==0){
flag=0;
return;
}
for(int i=head[u];i;i=E[i].next){
int v=E[i].v;
if(v!=fa){
dfs(v,u,x);
sum[u]+=sum[v];
}
}
if(sum[u]>x){
vector<ll>V;
for(int i=head[u];i;i=E[i].next){
int v=E[i].v;
if(v!=fa){
V.push_back(sum[v]);
}
}
sort(V.begin(),V.end());
while(sum[u]>x){
cnt++;
sum[u]-=V.back();
V.pop_back();
}
}
if(cnt>k-1){
flag=0;
return;
}
}
bool check(ll x){
flag=1;cnt=0;
dfs(1,0,x);
// printf("%lld:%d\n",x,flag);
if(flag)
return 1;
else
return 0;
}
int main(){
int T;
cin>>T;
for(int kase=1;kase<=T;kase++){
scanf("%d%d",&n,&k);
fill(head,head+1+n,0);
fill(sum,sum+1+n,0);
tot=0;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
addedge(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
ll l=0,r=1e14+5;//左開右閉
while(r-l>1){
ll mid=(r+l+1)/2;
if(check(mid))
r=mid;
else
l=mid;
}
printf("Case #%d: %lld\n",kase,r);
}
}
E. Cave Escape
題意:
給定一個\(n * m\)的格子矩陣，其中有一個格子是起點，一個格子是終點。從起點開始移動，每次能移動到有相鄰邊的格子中，每個格子都有一個權值v,若從點a移動到點b，且b點未被訪問過，則可以獲得\(Va*Vb\)的收益，若移動到終點，可以選擇先不出去，繼續在圖上亂走，問如何可以使得走出終點后獲得得收益最大？(只需要輸出最大收益即可)
思路:
很顯然終點在哪是對答案完全沒有影響的，只要在矩陣中亂走獲得最大收益再出去即可。
我們可以將這個矩陣轉化為一個無向圖，圖中的點就是矩陣的格點，相鄰格點之間有一條邊，長度為它們權值的乘積。只要在這個圖上跑一遍最大生成樹，樹的大小就是最大收益。為什么起點也是對答案沒有影響？因為要達到最大收益，最好的方法就是將圖中每一個都遍歷一遍，因為多遍歷一個點是不會虧的，可以通過已經遍歷到的任意點往新的點走來得到收益(已經遍歷過的格子在矩陣中是連通的，可以到處轉移)，這不就是生成樹嗎？
//賽后補題，只過樣例，僅供參考
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e3+5;
const int maxm=4e6+5;
struct edge{
int u,v;
ll w;
}E[maxm];
bool cmp(edge a,edge b){
return a.w>b.w;
}
int tot=0;
void addedge(int u,int v,ll w){
E[++tot].u=u;
E[tot].v=v;
E[tot].w=w;
}
int fa[maxn*maxn];
int n,m;
int find(int x){
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
ll kruskal(){
for(int i=1;i<=n*m;i++){
fa[i]=i;
}
sort(E+1,E+1+tot,cmp);
int cnt=0;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=tot;i++){
int u=E[i].u;
int v=E[i].v;
int fu=find(u);
int fv=find(v);
if(fu!=fv){
fa[fu]=fv;
ans+=E[i].w;
cnt++;
}
if(cnt==n*m-1)return ans;
}
}
ll x[maxn*maxn];
ll V[maxn][maxn];
int xx[]={1,0,0,-1};
int yy[]={0,1,-1,0};
int main(){
int T;
cin>>T;
for(int kase=1;kase<=T;kase++){
int sr,sc,tr,tc;
scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&sr,&sc,&tr,&tc);
tot=0;
ll A,B,C,P;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x[1],&x[2],&A,&B,&C,&P);
for(int i=3;i<=n*m;i++){
x[i]=(x[i-1]*A+x[i-2]*B+C)%P;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
V[i][j]=x[(i-1)*m+j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
for(int pp=0;pp<4;pp++){
int it=i+xx[pp];
int jt=j+yy[pp];
int u=(i-1)*m+j;
int v=(it-1)*m+jt;
if(it>=1&&it<=n&&jt>=1&&jt<=m){
addedge(u,v,V[i][j]*V[it][jt]);
}
}
}
}
ll ans=kruskal();
printf("Case #%d: %lld\n",kase,ans);
}
}
B. Prefix Code
題意:
給出一系列數字，長度均小於10，問是否有一個數是其他數的前綴？
思路:
Trie樹模板題。記錄單詞的終末，前綴包含的單詞個數即可。若一個點是單詞終末且前綴包含單詞個數>1，則輸出No。
//輸入字串用s+1，函數調用用s
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int T[maxn][12];
int num[maxn];
int isend[maxn];
int tot=1;
void add(char *s){
int l=strlen(s+1);
int rt=1;
for(int i=1;i<=l;i++){
if(T[rt][s[i]-'0']==0){
T[rt][s[i]-'0']=++tot;
rt=tot;
}
else{
rt=T[rt][s[i]-'0'];
}
num[rt]++;
}
isend[rt]=1;
}
void init(){
for(int i=0;i<=tot;i++){
memset(T[i],0,sizeof(T[i]));
num[i]=isend[i]=0;
}
tot=1;
}
char s[15];
int main(){
int T;
cin>>T;
for(int kase=1;kase<=T;kase++){
init();
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",s+1);
add(s);
}
int flag=1;
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(isend[i]&&num[i]>1){
flag=0;
break;
}
}
if(flag)
printf("Case #%d: Yes\n",kase);
else
printf("Case #%d: No\n",kase);
}
}