一、補碼
補碼是對負整數在計算機中存儲的一種形式；
第二種形式的負數在計算機中可以使用 （負號加數字）的形式表示一個負數；例如（-3 以1000 0011 存儲）但是使用這種方法表示的只有（+0，-0），而且不可以做算術運算。
二、計算機數和真值
討論二進制編碼之前，首先來了解一下什么是計算機數和真值
（一）計算機數
一個數在計算機中的二進制表示形式，叫做這個數的機器數。
機器數數帶符號的，由於計算機內部的硬件只能表示兩種物理狀態，在計算機使用一個數的最高位存放符號，正數為 0，負數為 1。
例如：十進制中的 +5 和 -5，計算機字長為8位，分別轉換為 00000101 和 10000101；這里面的 00000101 和 10000101 就是機器數
機器數的特點：
一個數值的二進制表現形式，就叫做這個數的機器數。二進制的位數是受機器設備的限制的。機器內部設備一次能表示的二進制位數叫做機器的字長，一台機器的字長數固定的。
字長8位的叫做一個字節（Byte），機器字長一般都是字節的整數倍，如字長 8位、16位、32位、64位。
機器數的分類：
根據小數點位置固定與否，機器數又可以分為定點數和浮點數。通常使用 定點數表示 整數，使用 浮點數表示 實數：
1、整數：整數沒有小數部分，小數點固定在數的最右邊。整數可以分為(1) 無符號整數 和 (2) 有符號整數 兩類。
無符號整數的所有二進制位全部用來表示數值的大小；
有符號整數用最高位表示數的正負號，其他位數表示數值的大小。
2、實數：實數的浮點數表示方法：將一個實數的范圍和精度分別用階碼和位數表示。在計算機中，為了提高數據表示精度，必須表示小數點的位置，因此浮點數必須寫成規范的形式（位數不為 0 的時候，其絕對值大於或等於 0.5 並且小於 1（因為是二進制位，要求尾數第 1 位必須是 1））。
例如：設機器字長位 16位，尾數為 8位，階碼 為 6位，則二進制實數 -1101.010 的機內表示為 0000100111010100。
注釋：
階碼在機器中表示一個浮點數時需要給出指數，這個指數需要用整數形式表示，這個整數叫做階碼。階碼用以指示小數點在數據中的位置。
（二）真值
不帶符號的數是數的絕對值，在絕對值前面加上表示正負的符號就成了符號數。
在計算機數中，第一位是符號位，所以計算機數的形式值就不能等於真正的數值。
-5 的計算機數為 10000101 ，最高位的1代表的是負號，真正的數值應該是 -5 而不應該是由形式值轉換而來的 133。
所以為了區別兩個數值，將帶有符號位的計算機數對應的真正數值稱為 機器數的真值。
例如：0000 0001的真值為 +000 0001 即為+1，1000 0001的真值為-000 0001，即為-1；
三、原碼、反碼、補碼詳解
計算機需要使用一定的編碼方式進行存儲。原碼、反碼、補碼則是計算機存儲一個具體數字的編碼方式。
（一）原碼
原碼的表示方法：
原碼的數值部分就是該數的絕對值，然后再加上符號位。即用第一位表示符號，其余位數表示值。
+1 [原碼] = 0000 0001
-1 [原碼] = 1000 0001
如果是 8位二進制得取值范圍為：[1111 1111 , 0111 1111]，即為 [-127,127]
原碼的加減法運算：
兩數相加：機器首先判斷兩個數是否符號相同，如果相同則兩數相加。若符號不同，則兩數相減。
兩數相減：相減運算之前，先判斷兩數絕對值的大小，用大數減去小數，然后再確定差值的符號。
這樣的計算顯然是很麻煩的，為了減少設備解決機器內符號位參與運算的問題，總是將減法運算變成加法運算，從而也就引進了反碼和補碼兩種兩種機器數。
（二）反碼
反碼的表現方式：
正數，其反碼和原碼的形式相同；
負數，反碼與其原碼的數值部分各位變反；即符號位不變，其余各位取反。
+1 = 0000 0001 [原碼] = 0000 0001 [反碼]
-1 = 1000 0001 [原碼] = 1111 1110 [反碼]
如果一個反碼表示的是負數，直觀上是無法看出它的數值，需要先將其轉換成原碼再進行計算。
（三）補碼
補碼的表示方法：
正數：補碼和原碼形式相同
負數：補碼為其反碼的末位加1
+1 = 0000 0001 [原碼] = 0000 0001 [反碼] = 0000 0001 [補碼]
-1 = 1000 0001 [原碼] = 1111 1110 [反碼] = 1111 1111 [補碼]
補碼的數值通常需要將其轉換為原碼才方便計算其原數值。
補碼是根據 同余 的概念引入的。
通過加法來實現減法的例子：假定當前時間為北京時間 6點整，有一只手表是 8點整，比北京時間快了 2個小時。這時候就有兩種校准方法：（1）倒撥 2小時；（2）正撥 10小時。假設倒撥是做減法，正撥是做加法。
對於手表來說 -2 和 +10是等價的（也就是說減2可以用加10來實現），這是因為這是因為8加10等於18，然而手表最大只能指示12，當大於12時12自然丟失，18減去12就只剩6了
注意：
1、正數的原碼、反碼、補碼的形式是相同的；
2、負數的原碼、反碼、補碼其形式各不相同；
3、對於負數的反碼和補碼（即符號位為1的數），其符號位后面的幾位數表示的並不是此數的數值。如果想要知道數值的大小，一定要求其反碼或是補碼才行。
四、原碼、反碼、補碼的使用
計算機中有三種編碼方式表示一個數，對於正數三種編碼方式返回的結果都是相同的。
+1 = 0000 0001 [原碼] = 0000 0001 [反碼] = 0000 0001 [補碼]
對於這個負數：
-1 = 1000 0001 [原碼] = 1111 1110 [反碼] = 1111 1111 [補碼]
只有原碼才是可以直接被識別並且用於計算方式 ，那么反碼和補碼的作用又是什么？
人腦在進行計算的時候可以知道第一位是符號位，在計算的時候會根據符號位選擇對真值的加減。
對於計算機來說，加減乘除是最基礎的運算，要盡量設計的簡單，計算機辨別出 符號位 會使得計算機的基礎電路設計變得更加復雜，所以人們想出了將符號位也參與運算的方法。
減去一個正數等於加上一個負數，即 2-1 = 2+(-1)，所以機器只有加法而沒有減法。符號位參與運算，只保留加法運算。
（一）原碼運算：
十進制的運算：1-1=0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原碼] + 1000 0001 [原碼] = 1000 0010 [原碼] = -2
如果用原碼表示，讓符號位也參與計算，對於減法來說，結果顯然是不正確的，所以計算機內部不使用原碼來表示一個數字。
（二）反碼運算：
為了解決原碼做減法的問題，就引出了反碼
十進制的運算：1-1=0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原碼] + 1000 0001 [原碼] = 0000 0001 [反碼] + 1111 1110 [反碼] = 1111 1111 [反碼] = 1000 0010 [原碼] = -0
使用反碼計算減法，結果的真值部分是正確的，但是在 ‘0’這個特殊的數值上。雖然 +0和 -0在意義上是一樣的，但是0加上符號是沒有任何意義的，0000 0001[原碼] 和1000 0001[原碼] 這兩個編碼都表示0。
（三）補碼運算：
補碼的出現，解決了 0 的符號以及兩個編碼的問題。
十進制的運算：1-1 =0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原碼] + 1000 0001 [原碼] = 0000 0001 [補碼] + 1111 1111[補碼] = 0000 0000[補碼] = 0000 0000[原碼] = 0
這樣 0 用 [0000 0000] 表示 ，而以前出現問題的 -0 就不存在了，而且可以用 [1000 0000] 表示 -128
(-1) + (-127) = 1000 0001[原碼] + 1111 1111[原碼] = 1111 1111[補碼] + 1000 0001[補碼] = 1000 000[補碼] = -128
-1-127 的結果應該是 -128，在用補碼運算的結果中，1000 0000[補碼] 就是-128，但是注意因為實際上使用 -0 的補碼來表示 -128，所以 -128並沒有原碼和反碼表示。（-128的補碼表1000 0000[補碼] 算出來的 0000 0000[原碼] 這樣是不正確的）
使用補碼，不僅是修復了 0的符號以及存在兩個編碼問題，而且還能多表示一個最低數。
注意：
1、所以8 位的二進制，使用原碼或是反碼表示的范圍為 [-127,+127]，使用補碼表示的范圍為 [-128,127]；
2、常用的32 位二進制，使用補碼表示的范圍為 [-231, 231-1] ，這是因為第一位表示的是符號位，使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。
五、原碼、反碼、補碼算術運算
（一）反碼的算術運算
反碼的運算注意問題：
1、反碼運算時，符號位與數值一起參與運算；
2、反碼的符號位相加后，如果有進位產生，就要·把進位送回到最低位相加（循環進位）；
3、用反碼運算，其運算結果也為反碼。在轉換為真值時，若符號位為0，數位不變；若符號位為1，應將結果求反才是其真值。
[例1] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用反碼計算Z = X-Y。
解： [X]反 = 01101，[-Y]反 = 11001，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 01101+11001+1（循環進位）= 00111 , 其真值為Z = +0111。
[例2] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用反碼計算Z = X-Y。
解： [X]反 = 00110，[-Y]反 = 10010，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 00110 + 10010= 11000 , 其真值為Z = - 0111。
采取反碼運算較好的解決了原碼運算所遇到的困難或問題，但由於循環進位需要二次算術相加，延長了計算時間，這同樣給電路帶來麻煩。
而采用下述的補碼運算則可避免循環進位的兩次計算，同時，采用補碼運算對溢出的判斷也較采用反碼簡單的多，所以機器中的算術運算普遍采用補碼運算
（二）補碼的算術運算
補碼要注意的問題：
1、補碼運算時，其符號位與數值部分一起參加運算
2、補碼的符號相加后，如果有進位的出現，需要將這個進位舍去（自然丟失）
3、用補碼運算，其運算結果也是補碼。在轉換為真值時，若符號位為 0，數位不變；若符號位為1，應將結果求補才是其真值。
[例3] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用補碼計算Z = X-Y。
解： [X]補 = 01101，[-Y]補 = 11010，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 01101+11010= 100111 , 其真值為Z = + 0111。
[例4] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用補碼計算Z = X-Y。
解： [X]補 = 00110，[-Y]補 = 10011，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 00110 + 10011= 11001 , 其真值為Z = - 0111。
（三）溢出及補碼溢出的判斷
無論采取什么機器，只要運算的結果大於數值設備所能表示數的范圍，就會產生溢出。溢出現象應該當成是一種故障來處理，因為它使結果數產生錯誤。
異號兩數相加時，實際是兩數的絕對值相減，不可能產生溢出，但有可能出現正常進位；
同號兩數相加時，實際上是兩數的絕對值相加，既可能產生溢出，也可能出現正常進位。
[例5] 某數字設備用五位二進制表示數，計算
（1）9+3 （2）-9-3 （3）9+12 （4）-9-12
解：（1）[+9]補+[+3]補= 01001+ 00011 = 01100 = +12 正確；
（2）[-9]補+[-3]補= 10111+ 11101 = 110100 = 10100（符號位進位自然丟失），其真值為-1100 = -12正確；
（3）[+9]補+[12]補= 01001 + 01100 = 10101 其真值為-1011 =-11錯誤，產生了溢出；
（4）[-9]補+[-12]補 = 10111+10100 = 101011 其真值為01011= +11 錯誤，產生了溢出。
（1）、（2）兩題結果均正確，查其最高位和次高位的進位位，不是均無進位產生，就是均產生進位；（3）、（4）兩題結果均錯誤，查其最高位和次高位的進位位，只有一位產生了進位。此即為判斷機器是正常進位還是溢出的基本依據，在微型機中可用異或電路來實現上述的判斷。
參考博客：
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E6%95%B0/1096838?fr=aladdin
https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html