復雜網絡
1. 基本概念
- 網絡的圖表示 ：\(G=(V，E)\)，
- 節點數 ：\(N=|V|\)
- 邊數 : \(M=|E|\)
- 有向網絡,無向網絡 : 任一點對\((i, j)和(j, i)\)對應同一條邊,則為無向網絡,反之成為有向.
- 有權網絡,無權網絡 : 邊有權值, 成為有權. 反之,無權
- 兩個節點的距離:
定義為兩節點之間最短路徑長度: \(d_{ij}\) - 網絡的直徑:
網絡中中任意兩個節點距離的最大值: \(D=max(d_{ij})\) - 平均路徑長度 :
定義為任意兩個節點之間距離的平均值: \(L=\frac{1}{\frac{1}{2}N(N+1)}\sum_{i\geq j}d_{ij}\)
為了方便數學處理,在公式中包含節點到節點自身的距離,所以是\(N(N+1)\), 乘\(\frac{1}{2}\)是因為無向網絡.
如下圖示:
2. 聚類系數
- 網絡中1個節點 \(i\) , 有 \(k_i\) 條邊與之相連,
- 也就是 \(i\) 有 \(k_i\) 個鄰居節點
- 顯然, 這\(k_i\)個節點之間最多可能有\(k_i(k_i-1)/2\)條邊.
- 設這\(k_i\)個節點之間真實邊數為\(E\)
- 則節點 \(i\) 的聚類系數:
\[C_i=\frac{E}{k_i(k_i-1)/2}=\frac{2E}{k_i(k_i-1)} \]
從幾何的特點看: 上式等價為:
\[C_i=\frac{與點i相連的三角形數量}{與點i相連的三元組的數量} \]
- 其中:與點
i相連的三元組是指包括點i的三個節點,並且至少存在從節點i到其他兩個節點的兩條邊.如下圖所示:
- 整個網絡的聚類系數 : \(C=\frac{1}{N}\sum_NC_i\) , 即為所有節點聚類系數和的平均值.
3. 度與度分布
- 節點 \(i\) 的度: \(k_i\) ,定義為與節點 \(i\) 相連的節點的數量.
- 出度 : \(i\) 指向 鄰居節點的邊的數目
- 入度 : 鄰居節點指向\(i\)的邊的數目
- 網絡節點的平均度 : \(k = \frac{1}{N}\sum_N k_i\)
度分布
- 網絡中節點度的分布情況可以用\(P(k)\)表示, 其中\(P(k)\) 定義為網絡中度為\(k\)的節點在整個網絡中所占的比率.
- 規則的格子有着簡單的度序列:因為所有的節點具有相同的度,所有其度分布為
Delta分布,它是單個尖峰. - 完全隨機網絡的度分布近似
Poisson分布.這類網絡也稱為均勻網絡. - 冪律分布也稱為無標度分布,這類網絡稱為無標度網絡.