感覺這個題十分好玩於是詐屍更博。一年之前的做題心得只有這道題還記得清楚……
設輸入為\(n,m\)時的答案為\(f(n,m)\)，首先\(f(n,m)=f(m,n)\)所以接下來默認\(n \leq m\)。一件重要的事情是打表得到當\(m>n+1\)時\(f(n,m) = f(n,m-1)*3\)，證明不會。
所以最后的問題是快速得到\(f(8,9)\)。\(n,m\)不大考慮搜索。
首先考慮一些沒用的剪枝：
1、同一條對角線上填入的數字自底向上不增。這個不難反證得到。
2、如果存在\((i,j)\)和\((i+1,j-1)\)填入的數字相同，那么\((i+1,j)\)與\((n,m)\)構成的矩形中一條對角線上所有位置的值必須相同。也可以反證得到。
我們假設用了這些剪枝可以剪掉絕大部分狀態，那么我們考慮如何check一個通過上述剪枝得到的答案是否合法。暴力的復雜度是\(15 \times \binom{15}{8}\)難以接受，我們考慮一些不同的思路。
對於兩條路徑\(P,Q\)，找到第一次分岔的位置，記做\((x,y)\)，那么這兩條路徑中必定一條向右走、一條向下走。不失一般性地假設\(P\)向右走，那么\(P\)得到的二進制串必須比\(Q\)得到的二進制串小。而\((x,y)\)是第一次分岔的位置，所以\(P,Q\)是否滿足條件和\((x+1,y)\)以及\((x,y+1)\)作為起點的所有路徑的串的\(\min\)和\(\max\)有關。如果能夠得到從某個點開始到達終點的所有串的\(\min\)和\(\max\)，判斷合法就迎刃而解了。
對於求以任意位置作為起點到達終點的串的\(\min\)和\(\max\)，考慮DP：設\(f_{i,j,0/1}\)表示從\((i,j)\)到\((n,m)\)的所有串的字典序\(\min / \max\)，轉移枚舉下一步去到哪里。注意到DP的復雜度是\(O(nm)\)的，相比之前有很大的提升。
這樣有可能還是跑不進\(2s\)，但是注意到下面check合法則上面所有的剪枝都一定滿足。如果可以最大化check方式在搜索中的剪枝效果，就可以更快速地搜出結果。
那么可以這樣做：按照對角線倒着填數，每一次填入一個位置之后立即計算它的DP值，判斷能夠判斷是否合法的位置，如果某些位置作為第一次分岔的位置已經不合法，則不往下搜。不難發現這樣的搜索剪枝是包含了上面的剪枝1、2的，是一個更強的剪枝。這樣你就可以在LOJ上以\(200ms\)的速度搜出\(f(8,9)\)，問題就完成了。