異或（^）、異或和 的性質及應用總結
異或的含義
異或運算與一般的邏輯或不同，異或算符的值為真僅當兩個運算元中恰有一個的值為真，而另外一個的值為非真。轉化為命題，就是：“兩者的值不同。”或“有且僅有一個為真。”符號為 XOR 或 EOR 或 ⊕（編程語言中常用^）。
或在數學中的含義：一個元素在集合A中或在集合B中，或的維恩圖如下：
而異或是不允許共存的，所以 A ^ B 的維恩圖如下：
同理對於 A ^ B ^ C 維恩圖：
異或運算{\displaystyle A\oplus B}
的真值表如下：F表示false，T代表true
| A | B | ⊕ |
|---|---|---|
| F | F | F |
| F | T | T |
| T | F | T |
| T | T | F |
| A | B | ⊕ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
任何數異或自己＝把自己置0
異或的性質：滿足交換律和結合律
- 交換律：A ^ B = B ^ A;
- 結合律：A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C;
- 恆等律：X ^ 0 = X;
- 歸零律：X ^ X = 0;
- 自反：A ^ B ^ B = A ^ 0 = A;
- 對於任意的 X： X ^ (-1) = ~X；
- 如果 A ^ B = C 成立，那么 A ^ B = C，B ^ C = A；
異或的應用
1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有唯一的一個元素重復，找出這個重復的數字。要求不能使用輔助存儲空間並且數組的每個元素只能訪問一次。
解法一：將這1001個元素加起來的和減去1+2+……+1000，所得的值就是重復的數字（數據過大容易溢出）。
解法二：異或
將1001個數全部異或得到的值再與12……^1000的結果再次異或，這樣就避免了數據過大溢出的情況。
首先，異或運算滿足交換律和結合律，即a^b = ba，(ab)^c = a(bc)。令重復的數字為n：
所以1 ^ 2 ^ … ^ n ^ n ^ … ^ 1000 = 1 ^ 2 ^ … ^ 1000 ^ (n ^ n) = 1 ^ 2 ^ … ^ 1000 ^ 0 = 1 ^ 2 ^ … ^ 1000（即序列中除了重復數字 n 以外所有數的異或。
如果令1 ^ 2 ^ … ^ 1000(序列中不包含n）的結果為T，那么1 ^ 2 ^ … ^ 1000(序列中包含n）的結果就是 T^n，T ^ (T ^ n) = n。
變形：一個數組存放若干整數，一個數出現奇數次，其余數均出現偶數次，找出這個出現奇數次的數。
解法與上面的解法二相同。
快速比較兩個數值是否相等
a == b a^b == 0
不用額外內存，交換兩個數的值
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
檢驗和恢復，RAID5
校驗和恢復主要利用的了異或的特性：IF a ^ b = c THEN a ^ c = b 應用：一個很好的應用實例是RAID5，使用3塊磁盤（A、B、C）組成RAID5陣列，當用戶寫數據時，將數據分成兩部分，分別寫到磁盤A和磁盤B，A ^ B的結果寫到磁盤C；當讀取A的數據時，通過B ^ C可以對A的數據做校驗，當A盤出錯時，通過B ^ C也可以恢復A盤的數據。
使用異或使某些特定位翻轉
翻轉10100001的第6位， 答案：可以將該數與00100000進行按位異或運算; 10100001 ^ 00100000 = 10000001
一個整型數組里除了N個數字之外，其他的數字都出現了兩次，找出這N個數字
比如，從{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}中找出單個的數字： 1
1^2^3^4^5^3^2^4^5 = 1
根據以上異或運算的特征，可以有以下用途，除方便直觀外，運算性能也更加優異。
變量重置0
假設有一個變量15，二進制表示為0000 1111
0000 1111 ^ 0000 1111 = 0000 0000
a = 0000 1111
a = a ^ a
結論：同變量本身異或運算，可以將變量重置0。
指定位置取反
假設有一個變量15，二進制表示為0000 1111，將第3，4，8位取反。
0000 1111 ^ 1000 1100 = 1000 0011
結論：同指定取反位為1，其他位為0的變量進行異或運算，可以將指定位置取反。
取反后的結果，同原指定取反變量異或，可以還原變量：
1000 0011 ^ 1000 1100 = 0000 1111（15）
加密解密
假設有一個變量15，二進制表示為0000 1111，密碼子為0101 0101。
加密：0000 1111 ^ 0101 0101 = 0101 1010
加密后結果是90。
將加密后結果同密碼子異或，可以進行解密
0101 1010 ^ 0101 0101 = 0000 1111
解密后結果是15。
二值交換
假設兩個變量：a = 15（0000 1111）， b= 23（0001 0111），將兩個變量交換。
1、a = a ^ b = 0000 1111 ^ 0001 0111 = 0001 1000
2、b = b ^ a = 0001 0111 ^ 0001 1000 = 0000 1111（15）
3、a = a ^ b = 0001 1000 ^ 0000 1111 = 0001 0111（23）
結論：二值交換實際上是利用了加密解密的特性。
1、a和b異或，可以把結果x看作是a、b互為密碼子進行加密。
2、將x，同b（原值）異或，也就是把b作為密碼子，因此可以還原a，賦值給b。
3、將x，同b（此時為a）異或，也就是把b（此時為a）作為密碼子，因此還原出的值為原b，賦值給a。交換結束。
判斷兩值是否相等
利用同變量本身異或運算，可以將變量重置0的特性。
假設：a = 0000 1111，b = 0000 1111，則 a ^ b == 0
假設：a = 0000 1111，b = 0000 0001，則 a ^ b != 0
結論：當兩個變量相等時，異或結果為0。
按位 與運算符（&）
參加運算的兩個數據，按二進制位進行“與”運算。
運算規則：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;
即：兩位同時為“1”，結果才為“1”，否則為0
例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 00000001 因此，3&5的值得1。
另，負數按補碼形式參加按位與運算。
“與運算”的特殊用途：
（1）清零。如果想將一個單元清零，即使其全部二進制位為0，只要與一個各位都為零的數值相與，結果為零。
（2）取一個數中指定位
方法：找一個數，對應X要取的位，該數的對應位為1，其余位為零，此數與X進行“與運算”可以得到X中的指定位。
例：設X=10101110，
取X的低4位，用 X & 0000 1111 = 00001110 即可得到；
還可用來取X的2、4、6位。
按位 或運算符（|）
參加運算的兩個對象，按二進制位進行“或”運算。
運算規則：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即 ：參加運算的兩個對象只要有一個為1，其值為1。
例如:3|5 即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。
另，負數按補碼形式參加按位或運算。
“或運算”特殊作用：
（1）常用來對一個數據的某些位置1。
方法：找到一個數，對應X要置1的位，該數的對應位為1，其余位為零。此數與X相或可使X中的某些位置1。
例：將X=10100000的低4位置1 ，用X | 0000 1111 = 1010 1111即可得到。
取 反運算符（~）
參加運算的一個數據，按二進制位進行“取反”運算。
運算規則：~1=0； ~0=1；
即：對一個二進制數按位取反，即將0變1，1變0。
使一個數的最低位為零，可以表示為：a&~1。
1的值為1111111111111110，再按“與”運算，最低位一定為0。因為“”運算符的優先級比算術運算符、關系運算符、邏輯運算符和其他運算符都高。
左移運算符（<<）
將一個運算對象的各二進制位全部左移若干位（左邊的二進制位丟棄，右邊補0）。
例：a = a<< 2將a的二進制位左移2位，右補0，
左移1位后a = a *2;
若左移時舍棄的高位不包含1，則每左移一位，相當於該數乘以2。
右移運算符（>>）
將一個數的各二進制位全部右移若干位，正數左補0，負數左補1，右邊丟棄。
操作數每右移一位，相當於該數除以2。
例如：a = a>> 2 將a的二進制位右移2位，
左補0 or 補1得看被移數是正還是負。
運算符把expression1 的所有位向右移 expression2指定的位數。expression1的符號位被用來填充右移后左邊空出來的位。向右移出的位被丟棄。
例如，下面的代碼被求值后，temp 的值是 -4：
-14 （即二進制的 11110010）右移兩位等於 -4（即二進制的 11111100）。
var temp = -14 >> 2
無符號右移運算符（>>>）
運算符把 expression1 的各個位向右移expression2 指定的位數。右移后左邊空出的位用零來填充。移出右邊的位被丟棄。
例如：var temp = -14 >>>2
變量 temp的值為 -14 （即二進制的 11111111 11111111 1111111111110010），向右移兩位后等於 1073741820 （即二進制的 00111111 11111111 1111111111111100）。
復合賦值運算符
位運算符與賦值運算符結合，組成新的復合賦值運算符，它們是：
&= 例：a &=b 相當於a=a& b
|= 例：a |=b 相當於a=a |b
= 例：a >>=b 相當於a=a>> b
<<= 例：a<<=b 相當於a=a<< b
^= 例：a ^= b 相當於a=a^ b
運算規則：和前面講的復合賦值運算符的運算規則相似。
不同長度的數據進行位運算
如果兩個不同長度的數據進行位運算時，系統會將二者按右端對齊，然后進行位運算。
以“與”運算為例說明如下：我們知道在C語言中long型占4個字節，int型占2個字節，如果一個long型數據與一個int型數據進行“與”運算，右端對齊后，左邊不足的位依下面三種情況補足，
（1）如果整型數據為正數，左邊補16個0。
（2）如果整型數據為負數，左邊補16個1。
（3）如果整形數據為無符號數，左邊也補16個0。
如：long a=123;int b=1;計算a& b。
如：long a=123;int b=-1;計算a& b。
如：long a=123;unsigned intb=1;計算a & b。