關於lowbit運算的相關知識
本篇隨筆簡單講解一下計算機中位運算的一類重要運算方式——\(lowbit\)運算。
lowbit的概念
我們知道，任何一個正整數都可以被表示成一個二進制數。如：
那么定義一個函數\(f=lowbit(x)\)，這個函數的值是\(x\)的二進制表達式中最低位的\(1\)所對應的值。
比如:
那么\(lowbit(6)\)就等於\(2\)，因為\((110)_2\)中最低位（就是從右往左數的第二位）對應的數是\(2^1=2\)
所以假設一個數的二進制最低位的\(1\)在從右往左數的第\(k\)位，那么它的\(lowbit\)值就是
lowbit函數的實現
lowbit函數實現有兩種方式：
一、
x&(x^(x-1))
二、
x&-x
簡單解釋一下：
我們得到lowbit的值，只需要得到最后一個1的位置，並且把除了這個位置之外的所有位置全部置成零。然后輸出就可以。
那么我們看一看x&(x^(x-1))
拿上面的6舉例：
我們發現，根據小學數學減法運算的借位原則（滑稽），對一個二進制數進行減1，那么會出現從這個這個數的最后一個1開始到最后的所有數都取反，即構成一個\(01111\cdots\)的串。
我們把這個數與原數異或，就會造成：第一個1以后的數（包括第一個1）全部取1.其他的位全部取0.即構成一個由一堆0后面跟一堆1的串。
那么再把原式做一個與運算，那么除了原來的那個1（對應位都是1）為1，其他位全是0，完成任務。
那么我們再看一看x&-x
根據計算機補碼的性質。
補碼就是原碼的反碼加一
如：
反碼：
加一：
可以發現變為反碼后 x 與反碼數字位每一位都不同， 所以當反碼加1后神奇的事情發生了，反碼會逢1一直進位直到遇到0，且這個0變成了1，所以這個數最后面構造了一個 100… 串。 由於是反碼，進位之后由於1的作用使進位的部分全部取反及與原碼相同，所以可以發現 lowbit 以前的部分 x 與其補碼即 -x 相反， lowbit x 與 -x 都是1，lowbit 以后 x 與 -x 都是0 所以 x&-x 后除了 lowbit 位是1，其余位都是0。符合條件。
用lowbit運算統計1的個數
我們可以使用lowbit運算統計一個整數的二進制形式下1的個數。
實現原理很簡單啦，就是：我們先用lowbit運算找出\(lowbit(x)\)，然后用原數減去這個數，依次循環，直到為0為止。
這也是樹狀數組的實現原理。
代碼：
while(x)
{
x-=x&-x;
ans++;
}
（巨短無比）
lowbit運算的應用
關於lowbit運算，最著名的應用應該算是樹狀數組。但是lowbit的神妙遠遠不止樹狀數組，在很多二進制和位運算的相關題目中，都有lowbit運算的影子。甚至，在狀態壓縮DP中，lowbit也扮演着一份不可忽視的角色。