1.模糊理論概述：
在我們的日常生活中有許多的事物，或多或少都具有模糊性和混淆不清的特性。“模模糊糊”的概念，是最微妙且難以捉摸，但卻又是常見最重要的，但在近代數學中卻有了很清晰的定義。 模糊理論的觀念在強調以模糊邏輯來描述現實生活中事物的等級，以彌補古典邏輯(二值邏輯)無法對不明確定義邊界事物描述的缺點。人類的自然語言在表達上具有很重的模糊性，難以“對或不對”、“好或不好”的二分法來完全描述真實的世界問題。故模糊理論將模糊概念，以模糊集合的定義，將事件(event)屬於這集合程度的歸屬函數(Membership grade),加以模糊定量化得到一歸屬度(Membership grade)， 來處理各種問題。隨着科學的發展，研究對象越加復雜，而復雜的東西難以精確化，這是一一個突出的矛盾，也就是說復雜性越高，有意義的精確化能力越低，有意義性和精確性就變成兩個互相排斥的特性。而復雜性卻意味着因素眾多，以致使我們無法全部認真地去進行考察，而只抓住其中重要的部分，略去次要部分，但這有時會使本身明確的概念也會變得模糊起來，從而不得不采用“模糊的描述”
2模糊聚類：
事物間的界線，有些是明確的，有些則是模糊的。當聚類涉及到事物之間的模糊界線時，需要運用模糊聚類分析方法。
如何理解模糊聚類的“模糊”呢：假設有兩個集合分別是A、B，有一成員a，傳統的分類概念a要么屬於A要么屬於B，在模糊聚類的概念中a可以0.3屬於A，0.7屬於B，這就是其中的“模糊”概念。
模糊聚類分析有兩種基本方法：系統聚類法和逐步聚類法。
系統聚類法個人理解類似於密度聚類算法，逐步聚類法類是中心點聚類法。
逐步聚類法是一種基於模糊划分的模糊聚類分析法。它是預先確定好待分類的樣本應分成幾類，然后按照最優原則進行在分類，經多次迭代直到分類比較合理為止。在分類過程中可認為某個樣本以某一隸屬度隸屬某一類，又以某一隸屬度隸屬於另一類。這樣，樣本就不是明確的屬於或不屬於某一類。若樣本集有n個樣本要分成c類，則他的模糊划分矩陣為c×n。
該矩陣有如下特性：
①. 每一樣本屬於各類的隸屬度之和為1。
②. 每一類模糊子集都不是空集。
3.FCM算法
3.1原理：
假定我們有數據集X，我們要對X中的數據進行分類，如果把這些數據划分成c個類的話，那么對應的就有c個類中心為Ci，每個樣本Xj屬於某一類Ci的隸屬度定為Uij，那么定義一個FCM目標函數及其約束條件如下：
目標函數(式1)由相應樣本的隸屬度與該樣本到各類中心的距離相乘組成的，式2為約束條件，也就是一個樣本屬於所有類的隸屬度之和要為 1 。
式1中的m是一個隸屬度的因子，一般為2 ，||Xj - Ci|| 表示Xj到中心點Ci的歐式距離。
我們發現Uij和Ci是相互關聯的，彼此包含對方 ，程序一開始 會隨機生成一個Uij，只要數值滿足條件即可，然后開始迭代，通過Uij計算出Ci，有了Ci又可以計算出Uij，反反復復，這個過程中目標函數J一直在變化，逐漸縐向穩定。那么當J不在變化時就認為算法收斂到一個較好的結果了。
3.2步驟：
（1）確定分類數，指數m的值，確定迭代次數
（2）初始化一個隸屬度U（注意條件和為1）；
（3）根據U計算聚類中心C；
（4）這個時候可以計算目標函數J了
（5）根據C返回去計算U，回到步驟3，一直循環直到結束。
舉栗子：
https://blog.csdn.net/in_nocence/article/details/78647305
大家可以參考一下
4.K-means算法和FCM均值的區別：
K-means算法：一種硬聚類算法，隸屬度只有兩個取值0或1，提出的基本根據是“類內誤差平方和最小化”准則；
FCM算法：一種模糊聚類算法，是k均值聚類算法的推廣形式，隸屬度取值為[0 1]區間內的任何一個數，提出的基本根據是“類內加權誤差平方和最小化”准則；
這兩個方法都是迭代求取最終的聚類划分，即聚類中心與隸屬度值。兩者都不能保證找到問題的最優解，都有可能收斂到局部極值，模糊c均值甚至可能是鞍點。
K均值和C均值，其實有種C是包含在K中的感覺，C只是特定的實現方式，K均值是廣義的概念。
5.實際應用：
煤炭為工業時代注入力量，即使到了發達的21世紀，我們的生活還是離不開煤炭，煤炭的種類也有很多，那如何將其分類呢？
通過查詢資料可知煤炭可以分為三類：無煙煤A1，煙煤A2，褐煤A3。設論域U為所有煤種的集合，則無煙煤A1,煙煤A2,和褐煤A3;是U上的模糊子集， 對於某一種給定的具體煤種u,試判斷u的歸屬問題。
（1）煤的特性指標
根據煤的化學成分和煤炭變量分析，我們選擇下列10個特性指標:炭(u)，氫(u2), 全硫(u3)， 氧(u4),鏡質分析(u5),絲質分析(u6)， 塊狀微粒體(u7),粒狀微粒(u8)，殼質體與樹脂體(u9),由鏡質組分測得的平均最大反射率(u10 ).因而每種煤的特性指標向量為u=(u1, u2,...... ,u10)
(2) 構造無煙煤A1,煙煤A 2和褐煤A 3的隸屬函數。
1)在無煙煤A1中抽選6個煤樣:
ai=(ai1, ai2,..... ai10) (i=1,2...,6),
其中aij表示A1中第i個煤樣的第j個特性指標的實際測試數據
在無煙煤A2中抽選12個煤樣:
bi=(bi1, bi2,..... bi10) (i=1,2...,12),
其中bij表示A2中第i個煤樣的第j個特性指標的實際測試數據
在無煙煤A3中抽選6個煤樣:
ci=(ci1, ci2,..... ci10) (i=1,2...,6),
其中cij表示A3中第i個煤樣的第j個特性指標的實際測試數據
2)計算所抽選的煤樣ai,bi,ci的平均值
3)分別計算待識別煤樣u= {u1, u2，.... ，u10}與a,b,c之間的歐拉距離得：
令D=d1(u, a)+d2(u, b)+d3(u,c),則可得無煙煤A1，煙煤A2和褐煤A3的隸屬函數是:
A1(u)=1-d1(u, a)/D, A2(u)=1-d2(u, b)/D, A3(u)=1-d3(u, c)/D,
把煤樣數據代入.上述式子得出個煤樣對無煙煤A1,煙煤A2和褐煤A3的隸屬度.
(3)按照最大隸屬原則判斷具體煤樣所應歸屬的煤炭類別.
數據部分樣本：
(4)matlab實現：
源代碼：
myfcm.m
function [U, V,objFcn] = myfcm(data, c, T, m, epsm)
% fuzzy c-means algorithm
% 輸入： data： 待聚類數據，n行s列，n為數據個數，s為每個數據的特征數
% c ： 聚類中心個數
% m : 模糊系數
% 輸出： U : 隸屬度矩陣，c行n列，元素uij表示第j個數據隸屬於第i類的程度
% V ： 聚類中心向量，c行s列，有c個中心，每個中心有s維特征
% written by Zhang Jin
% see also : mydist.m myplot.m
if nargin < 3
T = 100; %默認迭代次數為100
end
if nargin < 5
epsm = 1.0e-6; %默認收斂精度
end
if nargin < 4
m = 2; %默認模糊系數值為2
end
[n, s] = size(data);
% 初始化隸屬度矩陣U(0),並歸一化
U0 = rand(c, n);
temp = sum(U0,1);
for i=1:n
U0(:,i) = U0(:,i)./temp(i);
end
iter = 0;
V(c,s) = 0; U(c,n) = 0; distance(c,n) = 0;
while( iter<T )
iter = iter + 1;
% U = U0;
% 更新V(t)
Um = U0.^m;
V = Um*data./(sum(Um,2)*ones(1,s)); % 矩陣相乘
% 更新U(t)
for i = 1:c
for j = 1:n
distance(i,j) = mydist(data(j,:),V(i,:));
end
end
U=1./(distance.^m.*(ones(c,1)*sum(distance.^(-m))));
objFcn(iter) = sum(sum(Um.*distance.^2));
% FCM算法停止條件
if norm(U-U0,Inf)<epsm
break
end
U0=U;
end
myplot(U,objFcn);
距離函數：
function d = mydist(X,Y)
d = sqrt(sum((X-Y).^2));
end
myplot.m
function myplot(U,objFcn)
% 將隸屬度U矩陣可視化
figure(1)
subplot(3,1,1);
plot(U(1,:),'-b');
title('隸屬度矩陣值')
ylabel('A1')
subplot(3,1,2);
plot(U(2,:),'-r');
ylabel('A2')
subplot(3,1,3);
plot(U(3,:),'-g');
xlabel('樣本數')
ylabel('A3')
figure(2)
grid on
plot(objFcn);
title('目標函數變化值');
xlabel('迭代次數')
ylabel('目標函數值')
結果：
由於數據收集樣本容量過小，且電腦安裝的matlab版本有些問題嘗試多次無法運行，之后會重新更新軟件用更多數據測試
但可推測迭代多次之后，目標函數開始收斂，從隸屬度矩陣上分析 ，三類煤有明顯的區分 。猜測不斷迭代后區分度會有所降低。
6.結論：
FCM算法的優缺點：
優點：FCM方法會計算每個樣本對所有類的隸屬度，這給了我們一個參考該樣本分類結果可靠性的計算方法， 若某樣本對某類的隸屬度在所有類的隸屬度中具有絕對優勢，則該樣本分到這個類是一個十分保險的做法，反之若該樣本在所有類的隸屬度相對平均，則我們需要其他輔助手段來進行分類。
缺點：算法在分類時有個主要的不足是，當樣本不平衡時，如一個類的樣本容量很大，而其他類樣本容量很小時，有可能導致當輸入一個新樣本時，該樣本的K個鄰居中大容量類的樣本占多數。 該算法只計算“最近的”鄰居樣本，某一類的樣本數量很大，那么或者這類樣本並不接近目標樣本，或者這類樣本很靠近目標樣本。無論怎樣，數量並不能影響運行結果。
參考文獻：
https://blog.csdn.net/HUXINY/article/details/90607216