[LeetCode] 920. Number of Music Playlists 音樂播放列表的個數

Your music player contains `N` different songs and she wants to listen to `L` (not necessarily different) songs during your trip.  You create a playlist so that:

• Every song is played at least once
• A song can only be played again only if K other songs have been played

Return the number of possible playlists.  As the answer can be very large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: N = 3, L = 3, K = 1
Output: 6
Explanation: There are 6 possible playlists. [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1].

Example 2:

Input: N = 2, L = 3, K = 0
Output: 6 Explanation: There are 6 possible playlists. [1, 1, 2], [1, 2, 1], [2, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 2], [1, 2, 2]

Example 3:

Input: N = 2, L = 3, K = 1
Output: 2
Explanation: There are 2 possible playlists. [1, 2, 1], [2, 1, 2]

Note:

1. 0 <= K < N <= L <= 100

這道題說是一個音樂播放器有N首歌，有個她想聽L首歌（可以有重復），但需要滿足兩個條件，一個是每首歌都必須至少播放1次，第二個是兩首重復歌的中間至少要有K首其他的歌。提示了結果可能非常巨大，需要對一個超大數取余。對於這類結果超大的數，基本不用懷疑，基本都是用動態規划 Dynamic Programming 來做，這里主要參考了 [大神 optimisea 的帖子](https://leetcode.com/problems/number-of-music-playlists/discuss/180338/DP-solution-that-is-Easy-to-understand)。首先就是要確定 dp 的定義式，顯然這里一維的 dp 數組是罩不住的，因為貌似有三個參數，N，L 和 K。但是否意味着需要個三維數組呢，其實也不用，並不關心所有的K值，但是對於N和L是必須要關注的，這里用一個二維 dp 數組，其中 dp[i][j] 表示總共放了i首歌，其中j首是不同的。下面來考慮狀態轉移方程，在加入一首歌的時候，此時有兩種情況：

• 當加入的是一首新歌，則表示之前的 i-1 首歌中有 j-1 首不同的歌曲，其所有的組合情況都可以加上這首新歌，那么當前其實有 N-(j-1) 首新歌可以選。
• 當加入的是一首重復的歌，則表示之前的 i-1 首歌中已經有了 j 首不同的歌，那么若沒有K的限制，則當前有 j 首重復的歌可以選。但是現在有了K的限制，意思是兩首重復歌中間必須要有K首其他的歌，則當前只有 j-K 首可以選。而當 j<K 時，其實這種情況是為0的。

綜上所述可以得到狀態轉移方程：

            dp[i-1][j-1]*(N-(j-1)) + dp[i-1][j]*(j-k)    (j > K)
           /
dp[i][j] = 
           \
            dp[i-1][j-1]*(N-(j-1))   (j <= K)

參見代碼如下：

class Solution {
public:
    int numMusicPlaylists(int N, int L, int K) {
		int M = 1e9 + 7;
		vector<vector<long>> dp(L + 1, vector<long>(N + 1));
		dp[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= L; ++i) {
			for (int j = 1; j <= N; ++j) {
				dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] * (N - (j - 1))) % M;
				if (j > K) {
					dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j] * (j - K) % M) % M;
				}
			}
		}
		return dp[L][N];
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/920

參考資料：

https://leetcode.com/problems/number-of-music-playlists/

https://leetcode.com/problems/number-of-music-playlists/discuss/178415/C%2B%2BJavaPython-DP-Solution

https://leetcode.com/problems/number-of-music-playlists/discuss/180338/DP-solution-that-is-Easy-to-understand

[LeetCode All in One 題目講解匯總(持續更新中...)](https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4606334.html)