函數圖像的變換[適配手機端]

平移變換

• 左右平移的實質，是用\(x+\phi\)替換\(x\)，故將\(y=f(x)\)左右平移得到的應該是\(y=f(x\pm h)\)，而不是\(f(x)\pm h\)；上下平移的實質，是用\(y+\phi\)替換\(y\)，故將\(y=f(x)\)上下平移得到的應該是\(f(x)\pm h\)，而不是\(y=f(x\pm h)\)；

• 【案例1】函數\(f(2-x)\)的圖像的做法，是將函數\(f(x)\)的圖像關於\(y\)軸對稱得到函數\(f(-x)\)，然后將\(f(-x)\)圖像向右平移\(2\)個單位，得到\(y=f[-(x-2)]=f(2-x)\)的圖像。

注意：左加右減的口訣是使用在變換的實質\(x-2\)上，而不是使用在自變量整體\(2-x\)上。圖像變換如下：

【案例2】作函數\(y=f(x)=2^{|x-1|}-1\)的圖像。

做法：我們選\(y=2^x\)為變換的基礎圖像，

①先由\(y=2^x\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(|x|)}y=2^{|x|}\)，

②然后由\(y=2^{|x|}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x-1)}y=2^{|x-1|}\)

③然后由\(y=2^{|x-1|}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x)-1}y=2^{|x-1|}-1\)

對稱變換

①\(y=f(x)\xrightarrow{關於x軸對稱}y=-f(x)\)；

②\(y=f(x)\xrightarrow{關於y軸對稱}y=f(-x)\)；

③\(y=f(x)\xrightarrow{關於原點對稱}y=-f(-x)\)；

④\(y=a^x(a>0且a\neq 1)\xrightarrow{關於y=x對稱}y=log_ax\)；

伸縮變換

①\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[當0< a <1時，橫坐標伸長為原來的\frac{1}{a}倍，縱坐標不變]{當a >1時，橫坐標縮短為原來的\frac{1}{a}倍，縱坐標不變}\) \(y=f(ax)\)；

②\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[當0< a <1時，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變]{當a >1時，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變}\) \(y=af(x)\)；

翻折變換

①\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[將x軸下方圖像翻折上去]{保留x軸上方圖像}\) \(y=|f(x)|\)；

②\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[關於y軸對稱圖像]{保留y軸右邊圖像，並作其}\) \(y=f(|x|)\)；

③\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[關於y軸對稱圖像]{保留y軸左邊圖像，並作其}\) \(y=f(-|x|)\)；

常用結論

關於對稱的幾個重要結論：

①[兩個函數對稱]函數\(y=f(x)\)與函數\(y=f(2a-x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱；

②[兩個函數對稱]函數\(y=f(x)\)與函數\(y=2b-f(2a-x)\)的圖像關於點\((a,b)\)中心對稱；

③[一個函數對稱]若函數\(y=f(x)\)的定義域內任意自變量\(x\)滿足：\(f(a+x)=f(a-x)\)，則函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱；

④[一個函數對稱]若函數\(y=f(x)\)的定義域內任意自變量\(x\)滿足：\(f(a+x)=2b-f(a-x)\)，則函數\(f(x)\)的圖像關於點\((a,b)\)中心對稱；

利用相關點法可以解釋或證明。

具體實戰

以判斷函數\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)的單調性為例，說明具體的操作過程。

分析：研究函數的性質，首先研究定義域；

令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得\(-1<x<1\)，故定義域為\((-1，1)\)；

由於子函數\(y=sinx\)在\((-1，1)\)上單調遞增，故接下來重點研究子函數\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)的單調性，

又由於子函數為復合函數，外函數為增函數，故令內函數為\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}\)，重點研究內函數的單調性，

此時使用圖像就是比較好的選擇，為快速做出圖像，先作適當的變換；

\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}=-1+\cfrac{2}{1-x}=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，我們按照下述步驟作函數\(g(x)\)的圖像，

①\(y=\cfrac{2}{x}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x-1)}y=\cfrac{2}{x-1}\)，

②\(y=\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow -f(x)}y=-\cfrac{2}{x-1}\)，

③\(y=-\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x)-1}y=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，

這樣我們由圖像能看出來，函數\(g(x)\)在\((-1，1)\)上單調遞增，則子函數\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)在\((-1，1)\)上單調遞增，

故函數\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)在區間\((-1，1)\)上單調遞增，到此單調性的判斷結束。

當然，還可以借助導數判斷其單調性，由於本博文主題的限制，在此不做贅述。

【2017\(\cdot\)全國卷3理科第12題】 比如給定函數\(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x}\)，當令\(x-1=t\)時，則原函數轉化為\(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，且\(g(x)\)為偶函數。

補充，\(f(x)=e^x+e^{2-x}\)，則\(f(x)=f(2-x)\)，則函數\(f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱。

典例剖析

在同一平面直角坐標系中，函數\(y=g(x)\)的圖像與\(y=e^x\)的圖像關於直線\(y=x\)對稱，而函數\(y=f(x)\)的圖像與\(y=g(x)\)的圖像關於\(y\)軸對稱，若\(f(m)=-1\)，則\(m\)的值是【】

$A.-e$ $B.-\cfrac{1}{e}$ $C.e$ $D.\cfrac{1}{e}$

分析：\(g(x)=lnx\)，則\(f(x)=ln(-x)\)，若\(f(m)=-1\)，則\(ln(-m)=-1\)，故\(m=-\cfrac{1}{e}\)，故選\(B\).

已知函數\(f(2x+1)\)是奇函數，則函數\(y=f(2x)\)的圖像成中心對稱的點是【】

$A.(1,0)$ $B.(-1,0)$ $C.(\cfrac{1}{2},0)$ $D.(-\cfrac{1}{2},0)$

分析：函數\(f(2x+1)\)是奇函數，則其對稱中心為\((0,0)\)，而將\(f(2x+1)\)的圖像向右平移\(\cfrac{1}{2}\)個單位[即用\(x-\cfrac{1}{2}\)替換\(x\)后整理得到]得到函數\(f(2x)\)，即將\((0,0)\)向右平移\(\cfrac{1}{2}\)個單位后得到對稱中心為點\((\cfrac{1}{2},0)\) ，故選\(C\)。

【2019石家庄模擬】若函數\(y=f(x)\)的圖像恆過點\((1,1)\)，則函數\(y=f(4-x)\)的圖像一定經過點_________。

分析：將函數\(y=f(x)\)的圖像關於\(y\)軸對稱得到函數\(y=f(-x)\)，故\(y=f(-x)\)一定經過點\((-1,1)\)，再將函數\(y=f(-x)\)的圖像向右平移\(4\)個單位，得到函數\(y=f(4-x)\)的圖像，故函數\(y=f(4-x)\)的圖像一定經過點\((3,1)\).

已知定義在\(R\)上的偶函數\(f(x)\)滿足\(f(x-4)=f(x)\)，且在區間\([0,2]\)上\(f(x)=x\)，若關於\(x\)的方程\(f(x)=\)\(log_ax\)有三個不同的實根，則\(a\)的取值范圍是_____________.

分析：由題目可知，\(T=4\)，故\(f(x+4)=f(x)\)，又\(f(-x)=f(x)\)，則可知\(f(x+4)=f(-x)\)，故函數圖像關於\(x=2\)對稱，

利用現有的定義域，奇偶性，周期性，對稱性和解析式，做出適合題意的圖像如下：

要是方程\(f(x)=log_ax\)有三個不同的實根，則需要滿足\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{log_a6<2}\\{log_a10>2}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a^2>6}\\{a^2<10}\end{array}\right.\)，

解得\(a\in (\sqrt{6}，\sqrt{10})\)。

定義在\(R\)上的奇函數\(f(x)\)和定義在\(\{x\mid x\neq 0\}\)上的偶函數\(g(x)\)分別滿足\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x-1(0\leqslant x<1)}\\{\frac{1}{x}(x\geqslant 1)}\end{array}\right.\)，\(g(x)=log_2x(x>0)\)，若存在實數\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，則實數\(b\)的取值范圍是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-2，-\cfrac{1}{2}]\cup [\cfrac{1}{2}，2]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，0)\cup(0，\cfrac{1}{2}]$ $D.(-\infty，-2]\cup [2，+\infty)$

分析：做出適合題意的圖像，由圖像可知，函數\(f(x)\)的值域為\([-1，1]\)，

完整的偶函數\(g(x)\)的解析式應該為\(g(x)=log_2|x|\)，若存在實數\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，

則\(g(b)\)必須滿足\(-1\leqslant g(b)\leqslant 1\)，即\(-1\leqslant log_2|b|\leqslant 1\)，

上式可以轉化為\(\left\{\begin{array}{l}{b\geqslant 0}\\{-1\leqslant log_2b\leqslant 1}\end{array}\right.\)或者\(\left\{\begin{array}{l}{b<0}\\{-1\leqslant log_2(-b)\leqslant 1}\end{array}\right.\)

解得\(\cfrac{1}{2}\leqslant b\leqslant 2\)或\(-2\leqslant b\leqslant -\cfrac{1}{2}\) . 故選\(B\).

【2020屆高三理科數學月考二用題】把函數\(f(x)=log_2(x+1)\)的圖像向右平移一個單位，所得的圖像與函數\(g(x)\)的圖像關於直線\(y=x\)對稱；已知偶函數\(h(x)\)滿足\(h(x-1)=h(-x-1)\)，當\(x\in [0,1]\)時，\(h(x)\)\(=g(x)\)\(-1\)；若函數\(y=k\cdot f(x)-h(x)\)有五個零點，則正數\(k\)的取值范圍是【】

$A.(log_32,1)$ $B.[log_32,1)$ $C.(log_62,\cfrac{1}{2})$ $D.(log_62,\cfrac{1}{2}]$

分析：函數\(f(x)=log_2(x+1)\)的圖像向右平移一個單位，所得函數為\(y=log_2x\)，其關於直線\(y=x\)對稱的函數為\(g(x)=2^x\)，

則得到\(x\in [0,1]\)時，\(h(x)=g(x)-1=2^x-1\)，又由於\(h(x)\)為偶函數，則\(h(-x)=h(x)\)①，

又\(h(x-1)=h(-x-1)\)，則\(h(x)=h(-x-2)\)②，由①②得到，\(h(-x-2)=h(-x)\)，即\(T=2\)，

又函數\(y=k\cdot f(x)-h(x)\)有五個零點，則函數\(y=k\cdot f(x)\)與函數\(y=h(x)\)的圖像有五個交點，做出圖像如下，

由圖像可知，需要滿足條件\(\left\{\begin{array}{l}{k\cdot log_2(3+1)<1}\\{k\cdot log_2(5+1)>1}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{2k<1}\\{k\cdot log_26>1}\end{array}\right.\) 解得\(log_62<k<\cfrac{1}{2}\)，故選\(C\)。