1.關於hash
剛開始學hash是為了比較字符串，后來用hash_table來存儲大量元素、快速查找。最近想到的一個用法是，如果我們能給每個不同的元素對應一個的$p^i$的話，可以將一個集合轉化為一個哈希值，從而快速比較兩個集合是否相等。
隊友C：hash是不可撤銷的！
然而真的是這樣嗎？這個問題取決於我們決定$i$的方式。
在字符串比較中，我們同時需要位置和內容信息，有了每個前綴的hash值，我們顯然知道前面的每個位置對應的$i$，可以通過調整獲得任意區間的hash值。雖然區間數($n^2$)復雜度往往是無法接受的，但是在需要考察的區間長度為定值時這個算法還是很優秀的。
再看上面關於集合比較的問題，需要的信息只有內容，hash相當於一個模糊化的存儲，只保留了集體信息而丟棄了單獨元素的信息。雖然這種處理不支持查詢某個元素是否在集合中，但是如果已知一個元素在集合中，我又知道它加入時對應的$i$，刪除操作就是可行的。
所以我們再考慮hash是否可撤銷，就是看能否找到正確的$i$，以及能否准確、不過度地進行刪除。
我們一般印象中的hash往往有大素數、unsigned long long一類的特征。但是hash本質上就是一種“模糊化”的思想，把無法承受的存儲、比對壓縮到只剩下某些關鍵信息。其實求和、取max等等操作都可以是看作廣義的hash，用一個結果來代表這個集合中我關注的特質。反向推想，一些難以處理的比較問題也可以嘗試用hash解決，如兩個集合是否相同。甚至抽取的特征也不一定涵蓋了所有我需要的信息，余下就是在正確率和效率之間尋找平衡，神經網絡等處理大規模數據的算法都有這種思想的體現。hash的正確概率，一是要看不同集合是否對應了不同的hash結果，二是要看這個結果是否能充分反映我關注的信息。
eg：有n個點和m條無向邊，邊的長度均為1。問按順序加邊，加到多少條時開始存在從a到b的長度為5的點不重復路徑，其中a和b是兩個給定點。n、m<=1e5。
2.博弈論哲學
某些srs看起來一本正經胡說八道，實際上只會把博弈論推給隊友，這是毋庸置疑的。
反證法：假設這個狀態必敗，必然先手可以選擇另一操作來把此處的選擇留給后手，與必敗矛盾。可能只存在於較大規模或具備一些基本特征的局面下，如至少有兩個兒子的樹節點等。小范圍仍需手玩。
分離法：通過簡單操作把原局面分為無關的幾部分，或者刪除原局面的一部分，總之把游戲規模變小。
Excel法：當隊友C開始用Excel枚舉每種局面的結果，他很快就會AC了。Excel確實是手動打表的好幫手，效率遠勝紙質計算。
3.笛卡爾模型化
隊友C：現在我們就得到一個經典的二維數點/三維偏序問題。
把問題轉化為一個數點問題、區間問題常常讓事情變得簡單。一對必須同時選取的數可以看作區間的左右端點、兩種權值要求可以看作平面上的兩維、元素的標號是數軸上的一維，如此種種。題目的要求本身沒有改變，我們的思維卻慣於快速應對這種形式。代碼也可以有序地分成轉化、處理兩部分，甚至作證明、檢查時可以完全分開考慮。
笛卡爾坐標系中的模型總是更容易和數據結構建立聯系。我們對數據結構的認識也不應該僅僅從維護信息、算法復雜度角度，還要考慮它有怎樣的降維效果，它本身的特質適合怎樣把我需要的答案分離、統計。處理信息的順序，也即時間維度，也可以作為解決問題的輔助，有自然降維的功能。
eg：n 個人，選白色、黑色各有一個權值，要使所有人選擇后權值極差最小，並且有一些兩個人不能選同色的限制。n<=1e5。
4.數據范圍騙局
“操作數不超過m，m<=1e18”——但實際上按照題目規則，超過2n的操作都是沒有意義的。
“k是兩整點之間距離的平方，k<=1e7”——可以拆成兩數平方之和的數字在這個區間里並不多，可以預處理出所有組合方案，從而把兩個維度分開，實現快速統計和查找。
“強制在線，每次輸入數據需要^opt”——若opt只能為0/1/2之類的小數字，^的結果十分有限，甚至可以根據最后答案倒推。
題目中看似很大的輸入數據，可能由於必須滿足某些規則而變得十分有限。讓出題人造數據時感到麻煩的限制，或許恰恰是選手的可乘之機。從出題人的角度考慮輸入數據可能性，說不定能幫助發現題目性質。
本文送給沒有出現但是獨自承擔了絕大部分數學題的隊友Y，以及另一位我十分希望但不能成為我的隊友的同學。