矩陣求導（二）

本文轉載自查看原文 2019-09-18 15:13 335 Machine learning

本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，來講矩陣對矩陣的求導術。使用小寫字母x表示標量，粗體小寫字母 $\boldsymbol{x}$ 表示列向量，大寫字母X表示矩陣。矩陣對矩陣的求導采用了向量化的思路，常應用於二階方法求解優化問題。

首先來琢磨一下定義。矩陣對矩陣的導數，需要什么樣的定義？第一，矩陣F(p×q)對矩陣X(m×n)的導數應包含所有mnpq個偏導數 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$ ，從而不損失信息；第二，導數與微分有簡明的聯系，因為在計算導數和應用中需要這個聯系；第三，導數有簡明的從整體出發的算法。我們先定義向量 $\boldsymbol{f}$ (p×1)對向量 $\boldsymbol{x}$ (m×1)的導數 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}$ (m×p)，有 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ；再定義矩陣的（按列優先）向量化 $\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T$ (mn×1)，並定義矩陣F對矩陣X的導數 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ (mn×pq)。導數與微分有聯系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ 。幾點說明如下：

按此定義，標量f對矩陣X(m×n)的導數 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 是mn×1向量，與上篇的定義不兼容，不過二者容易相互轉換。為避免混淆，用記號 $\nabla_X f$ 表示上篇定義的m×n矩陣，則有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。雖然本篇的技術可以用於標量對矩陣求導這種特殊情況，但使用上篇中的技術更方便。讀者可以通過上篇中的算例試驗兩種方法的等價轉換。
標量對矩陣的二階導數，又稱Hessian矩陣，定義為 $\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}$ (mn×mn)，是對稱矩陣。對向量 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 或矩陣 $\nabla_X f$ 求導都可以得到Hessian矩陣，但從矩陣 $\nabla_X f$ 出發更方便。
$\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ ，求導時矩陣被向量化，弊端是這在一定程度破壞了矩陣的結構，會導致結果變得形式復雜；好處是多元微積分中關於梯度、Hessian矩陣的結論可以沿用過來，只需將矩陣向量化。例如優化問題中，牛頓法的更新 $\Delta X$ ，滿足 $\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。
在資料中，矩陣對矩陣的導數還有其它定義，比如 $\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right]$ (mp×nq)，或是 $\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F}{\partial X_{ij}}\right]$ (mp×nq)，它能兼容上篇中的標量對矩陣導數的定義，但微分與導數的聯系（dF等於 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 中逐個m×n子塊分別與dX做內積）不夠簡明，不便於計算和應用。文獻[5]綜述了以上定義，並批判它們是壞的定義，能配合微分運算的才是好的定義。

然后來建立運算法則。仍然要利用導數與微分的聯系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，求微分的方法與上篇相同，而從微分得到導數需要一些向量化的技巧：

線性： $\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)$ 。
矩陣乘法： $\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\otimes$ 表示Kronecker積，A(m×n)與B(p×q)的Kronecker積是 $A\otimes B = [A_{ij}B]$ (mp×nq)。此式證明見張賢達《矩陣分析與應用》第107-108頁。
轉置： $\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)$ ，A是m×n矩陣，其中 $K_{mn}$ (mn×mn)是交換矩陣(commutation matrix)，將按列優先的向量化變為按行優先的向量化。例如 $K_{22} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0 &0 & 1\end{bmatrix}, \text{vec}(A^T)= \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ A_{21} \\ A_{22}\end{bmatrix}, \text{vec}(A)=\begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{12} \\ A_{22}\end{bmatrix}$ 。
逐元素乘法： $\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\mathrm{diag}(A)$ (mn×mn)是用A的元素（按列優先）排成的對角陣。

觀察一下可以斷言，若矩陣函數F是矩陣X經加減乘法、逆、行列式、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對F求微分，再做向量化並使用技巧將其它項交換至vec(dX)左側，對照導數與微分的聯系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，即能得到導數。

特別地，若矩陣退化為向量，對照導數與微分的聯系 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ，即能得到導數。

再談一談復合：假設已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$ ，而Y是X的函數，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 呢？從導數與微分的聯系入手， $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX)$ ，可以推出鏈式法則 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$ 。

和標量對矩陣的導數相比，矩陣對矩陣的導數形式更加復雜，從不同角度出發常會得到形式不同的結果。有一些Kronecker積和交換矩陣相關的恆等式，可用來做等價變形：

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$ 。
$\mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ 。
$(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$ 。可以對 $F = D^TB^TXAC$ 求導來證明，一方面，直接求導得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$ ；另一方面，引入 $Y = B^T X A$ ，有 $\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$ ，用鏈式法則得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$ 。
$K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ 。
$K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A$ ，A是m×n矩陣，B是p×q矩陣。可以對 $AXB^T$ 做向量化來證明，一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)$ ；另一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)$ 。

接下來演示一些算例。

例1： $F = AX$ ，X是m×n矩陣，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF=AdX$ ，再做向量化，使用矩陣乘法的技巧，注意在dX右側添加單位陣： $\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$ 。

特例：如果X退化為向量，即 $\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x}$ ，則根據向量的導數與微分的關系 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T$ 。

例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩陣，求 $\nabla_X f$ 和 $\nabla^2_X f$ 。

解：使用上篇中的技術可求得 $\nabla_X f = X^{-1T}$ 。為求 $\nabla^2_X f$ ，先求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$ ，再做向量化，使用轉置和矩陣乘法的技巧 $\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯系，得到 $\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})$ ，注意它是對稱矩陣。在 $X$ 是對稱矩陣時，可簡化為 $\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}$ 。

例3： $F = A\exp(XB)$ ，A是l×m矩陣，X是m×n矩陣，B是n×p矩陣，exp為逐元素函數，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再做向量化，使用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再用逐元素乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)$ ，再用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$ 。

例4【一元logistic回歸】： $l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}))$ ，求 $\nabla_\boldsymbol{w} l$ 和 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ 。其中 $y$ 是取值0或1的標量， $\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}$ 是 $n×1$ 列向量。

解：使用上篇中的技術可求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y)$ ，其中 $\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)}$ 為sigmoid函數。為求 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ ，先求微分： $d\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w}$ ，其中 $\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}$ 為sigmoid函數的導數，對照導數與微分的聯系，得到 $\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T$ 。

推廣：樣本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_N,y_N)$ ， $l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right)$ ，求 $\nabla_w l$ 和 $\nabla^2_w l$ 。有兩種方法，方法一：先對每個樣本求導，然后相加；方法二：定義矩陣 $X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix}$ ，向量 $\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$ ，將 $l$ 寫成矩陣形式 $l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w}))$ ，進而可以使用上篇中的技術求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})$ 。為求 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ ，先求微分，再用逐元素乘法的技巧： $d\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T (\sigma'(X\boldsymbol{w})\odot (X d\boldsymbol{w})) = X^T \text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))Xd\boldsymbol{w}$ ，對照導數與微分的聯系，得到 $\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X$ 。

例5【多元logistic回歸】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，求 $\nabla_W l$ 和 $\nabla^2_W l$ 。其中其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個元素為1外其它元素為0的 $m×1$ 列向量， $W$ 是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{x}$ 是 $n×1$ 列向量， $l$ 是標量。

解：上篇中已求得 $\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。為求 $\nabla^2_W l$ ，先求微分：定義 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ， $d\nabla_W l = \left(\frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}\right) \boldsymbol{x}^T = \left( \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2} \right)d\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^T$ $=\left(\text{diag}(\text{softmax}(\boldsymbol{a})) - \text{softmax}(\boldsymbol{a})\text{softmax}(\boldsymbol{a})^T\right)d\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^T$ ，注意這里化簡去掉逐元素乘法，第一項中 $\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a}$ ，第二項中 $\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}$ 。定義矩陣 $D(\boldsymbol{a}) = \text{diag}(\text{softmax}(\boldsymbol{a})) - \text{softmax}(\boldsymbol{a})\text{softmax}(\boldsymbol{a})^T$ ， $d\nabla_W l =D(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = D(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ ，做向量化並使用矩陣乘法的技巧，得到 $\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes D(W\boldsymbol{x})$ 。

最后做個總結。我們發展了從整體出發的矩陣求導的技術，導數與微分的聯系是計算的樞紐，標量對矩陣的導數與微分的聯系是 $df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)$ ，先對f求微分，再使用跡技巧可求得導數，特別地，標量對向量的導數與微分的聯系是 $df = \nabla^T_{\boldsymbol{x}}f d\boldsymbol{x}$ ；矩陣對矩陣的導數與微分的聯系是 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，先對F求微分，再使用向量化的技巧可求得導數，特別地，向量對向量的導數與微分的聯系是 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}$ 。

參考資料：

張賢達. 矩陣分析與應用. 清華大學出版社有限公司, 2004.
Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.

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