什么是三次樣條插值
插值（interpolation）是在已知部分數據節點（knots）的情況下，求解經過這些已知點的曲線，
然后根據得到的曲線進行未知位置點函數值預測的方法（未知點在上述已知點自變量范圍內）。
樣條(spline)是軟尺(elastic ruler)的術語說法，在技術制圖中，使用軟尺連接兩個相鄰數據點，
以達到連接曲線光滑的效果。
樣條插值是一種分段多項式(piecewise polynomial)插值法。數學上，曲線光滑需要在曲線上處處一階導連續，
因此，在節點處需要滿足一階導數相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導連續【1】，
在節點處需要二階導相等。
三次及以上多項式可以滿足節點處光滑和曲率最小要求，但是次數高的曲線容易震盪，因此，就選用三次多項式即可。
數學表述
假設有n個已知節點：
函數關系記為： 
。
在區間 
中插值多項式曲線：
注意，這里頭曲線為
，尾曲線為
。
插值在節點處滿足條件：
（1）曲線經過節點：
（2）曲線一階導連續（光滑）：
（3）曲線二階導連續（曲率最小）：
邊界條件：對兩端節點的約束。
（B1）自然(natural (or free))邊界條件
（B2）固定(clamped)邊界條件
固定一階導數：
, 
固定二階導數：
, 
（B3）非節點邊界(not-a-knot )
要求在第二個節點 
和倒數第二個節點 
，曲線的三階導也連續：
三次多樣式函數的計算
樣條函數采用n-1個三次多項式，每個三次多項式有4個參數，一共是4n-4個參數，
因此需要4n-4個方程。
條件（1）n-1個曲線每個兩端經過節點，提供2（n-1）=2n-2個方程；
條件（2）n-1個曲線相鄰一階導連續，提供n-2個方程；
條件（3）n-1個曲線相鄰二階導連續，提供n-2個方程；
以上一共是4n-6個方程，還需要2個方程，這兩個方程由邊界條件提供，條件（B1）, （B2）, （B3）
每個均提供2個方程，這樣就湊夠了4n-4個方程。
計算的例子
n個節點，n-1條曲線。在區間 
內，令第i條曲線為：
一二三階導分別為：
一階： 
二階： 
三階： 
接下來，套用節點條件和邊界條件：
先假設相鄰節點橫縱坐標的差值分別為: 
，
。
條件（1）：曲線 
已經滿足第一個式子：
；
第二式 
：
(I) 
條件（2）：
(II) 
條件（3）：
(III) 
邊界條件以非節點（Not-A_Knot）條件為例， 得：
(IV) 
, 
聯立方程(I)和(II)， 分別消去 
和 
得：
, 
帶入方程(III)得：
(V) 
這里i的最大值應該取不到n-3，當i=n-3時，上式左邊將出現 
，而參數a的范圍是從0到n-2，
所以不存在這項，此式一共是n-2個方程。
另外，方程(II)和(III)都不支持 
，需要單獨計算 
：
由方程(I)，(III)分別有：
=>
由邊界條件方程(IV)中的 得：
方程（V）取i=0有：
與上式聯立消去
，得：
(VI) 
另由 得：
(VII) 
方程(V), (VI), (VII)聯立，n-1個方程，n-1個未知數（
），參數a得解，然后在算出參數b和c即可。
References:
[1] Wikipedia: spline interpolation