學習 程序員小灰——《什么是旅行商問題》筆記：
旅行商問題
旅行商問題所描述的是這樣一個場景：
有一個商品推銷員，要去若干個城市推銷商品。該推銷員從一個城市出發，需要經過所有城市后，回到出發地。每個城市之間都有道路連通，且距離各不相同，推銷員應該如何選擇路線，使得總行程最短呢？
這個問題看起來很簡單，卻很難找到一個真正高效的求解算法。其中最容易想到的，是使用窮舉法：
把所有可能的路線窮舉出來，計算出每一條路線的總行程：
A-B-C-D-E-F-G-H-I
A-B-C-D-E-F-G-I-H
A-B-C-D-E-F-H-G-I
A-B-C-D-E-F-H-I-G
A-B-C-D-E-F-I-H-G
A-B-C-D-E-F-I-G-H
......
......
像上面這樣排列組合，從所有路線中找出總行程最短的路線。顯然，這個方法的時間復雜度是O(n！)，隨着城市數量的增長，花費的運算時間簡直不可想象！
后來，人們想出了許多相對優化的解決方案，比如動態規划法、分枝定界法（這個算法很有意思，以后會專門寫一篇漫畫來詳細介紹）......但是，這些算法的時間復雜度仍然是指數級的，並沒有讓性能問題得到根本的解決。
P和NP
NP到底是什么意思呢？
我們曾經學習過許許多多的算法，這些算法的時間復雜度都可以用多項式來表示，比如：
歸並排序的時間復雜度是O（nlogn）
冒泡排序的時間復雜度是O（n^2）
Floyd算法的時間復雜度是O（n^3）
盡管這些算法的運行時間有數量級上的差別，但是它們的時間復雜度都可以用O（n^k）來表示，k是一個常數。
因此，這些算法都是多項式時間算法，能用多項式時間算法解決的問題被稱為P問題( Polynomial)。
人們常說，能用錢解決的問題都不是問題，在計算機科學家眼中，能用多項式時間解決的問題都不是問題。
然而，世間還存在許多變態的問題，是無法（至少是暫時無法）在多項式時間內解決的，比如一些算法的時間復雜度是O（2^n），甚至O（n!）。
隨着問題規模n的增長，計算量的增長速度是非常恐怖的。這類問題被稱為NP問題（Non-deterministic Polynomial），意思是“不確定是否能用多項式時間解決”。
有些科學家認為，所有的NP問題終究都可以在多項式時間內解決，只是我們暫時還沒有找到方法；也有些科學家認為，某些NP問題永遠無法在多項式時間內解決。
這個業界爭論可以用一個公式來表達：
NP = P？
歸約和NPC
這里所說的NPC問題可不是游戲當中的NPC，它究竟是什么意思呢？要想理解NPC問題，我們需要先了解歸約的概念。
歸約，可以簡單理解成問題之間的轉化。例如問題Q是一個一元一次方程的求解問題：3x+6 = 12，這個問題可以轉化成一個一元二次問題Q'：0x^2+3x+6 = 12。
顯然，問題Q並不比問題Q'更難解決，只要有辦法解決Q'，就一定能夠解決Q。對於這種情況，我們可以說問題Q歸約於問題Q'。
同時，這種歸約可以逐級傳遞，比如問題A歸約於問題B，問題B歸約於問題C，問題C歸約於問題D，那么我們可以說問題A歸約於問題D。
在NP問題之間，也可以存在歸約關系。我們把眾多的NP問題層層歸約，必定會得到一個或多個“終極問題”，這些歸約的終點就是所謂的NPC問題（NP-complete），也可以翻譯成PC完全問題。上面所講的旅行商問題，被科學家證明屬於NPC問題。
就數量上而言，NP問題遠比P問題要多，而NP之中的NPC問題也僅占極少數，所以P、NP、NPC之間的關系可以用下圖來表示：
俗話說擒賊先擒王，只要有朝一日，我們能夠找到NPC問題的多項式時間算法，就能夠解決掉所有的NP問題！但遺憾的是，至今還沒有人能夠找到可行的方法，很多人認為這些問題是無解的。
回到最初的問題：
既然是工程問題，我們與其鑽牛角尖尋求最優解，不如用小得多的代價尋求次優解。
最簡單的辦法是使用貪心算法，先選擇距離起點最近的城市A，再選擇距離A城市最近的城市B... 以此類推，每一步都保證局部最優。
這樣規划出的路線雖然未必是全局最優，但平均情況下也不會比最優方案差多少。
除此之外，還有許多近似的解決方案，比如遺傳算法、蟻群算法等等。谷歌有一款開源工具OR-TOOL，當中也包含路線規划的實現，可以研究一下。
總結：
本文提到的算法名及可擴展內容：
窮舉法、動態規划法、分枝定界法
歸並排序、冒泡排序、Floyd算法
貪心算法
遺傳算法、蟻群算法
谷歌開源工具OR-TOOL