AFO時間過長導致看什么都覺得新鮮……暑假訓練主要就是打一打hdu和nowcoder的多校，題目沒什么好保密的。因為沒有部分分可能並不適合學弟學妹們練習，不過有些idea還是很有意思的，當作課余消遣大約不錯。思維能力很強的oier想必頭腦中都有很多妙趣橫生的模型吧？沒有用公式題解果然不美觀qwq
7.22
簡要題意：給定一棵樹，每次選兩個葉子，給它們之間的路徑上的邊加任意實數權。現在假設這棵樹每個邊都有一個隨機邊權，問按上述規則是否存在構造方案。要求線性復雜度。
簡要題解：度為 2 的點所連的兩邊必須相同，所以判度數即可。對於其他情況均可在子樹中調整，充分性同樣可證。
CF1189 A2 Add on a Tree：Revolution
簡要題意：把前一題中的實數權改為正整數，規定每條邊的邊權，給出一個構造方案。要求線性復雜度。
簡要題解：按照 dfs 序構造，關鍵在於怎樣消除上面操作對已經完成部分的影響。將一個葉子節點設為根，其他葉子節點直接向根連要求權值的邊。對於非葉子節點，選取子樹中兩個葉子之間連（出權-入權）/2，再由兩個葉子分別向根連邊，即可滿足當前要求並且不破壞之前構造。過程中出現了小數或上一題中矛盾即為無解，算法題往往把一個整體問題“分步處理”，盡可能消除后效性才可以得到滿意的復雜度。
7.25 2019牛客多校3
G Removing Stones
簡要題意：有n堆石子，每個堆有ai個，每次取石子要從兩個不同堆各取一個，問有多少區間可以按這個規則取完所有石子，n<=3e5。
簡要題解：可以看出題目要求等價於 sum>=2*max，找出區間中最大值，從短的一側枚舉端點，在另一側二分更新答案，然后從最大值兩側向下分治。每一次枚舉的端點數不超過 1/2，這一步復雜度上限為 log，總復雜度nlog^2。
7.27 2019牛客多校4
I .string
簡要題意：求有多少本質不同的子串，但是a與rev(a)只統計一遍，要求線性復雜度。
簡要題解：用后綴自動機可以求本質不同子串個數，一個非回文子串在 s 和 rev(s)中會被記錄兩次，但是回文串只有一次。所以正反串中本質不同子串個數 p+回文子串個數 q，每個串都被記錄兩遍，/2 即得到答案。注意把反串加入后綴自動機時要和正串分隔開，中間分隔符對答案的影響要消除。
D .triples I
簡要題意：求至少多少3的倍數可以或運算得到給定的數s，輸出方案。
簡要題解：從表面上觀察 01 的形態並不是有效的方法，想到一個二進制位模 3 非 1 即 2， 可以根據給出數字模 3 的余數和中間某些位模 3 的余數來構造合法解，最多只會用到兩個數。
7.29 2019HDU多校3
簡要題意：一個長為n的序列ai，每次取一個不下降子序列，取k次。每個元素不能被重復選取，問選取元素的和最大是多少。n<=2000，k<=10.
簡要題解：可以利用費用流，對源點和序列中每一個點拆點限制流量，源點的出點向每個點入點連邊，每個點出點向匯點連邊。暴力建圖中由 i 的出點向后方所有權值更大的入點連邊，為了優化建邊給每個點拆出的兩點之間增加一個費用為 0 流量為 inf，則一個不減的序列可以自然連接，需要再建的只有權值比之前連過的點都小、但不小於 i 的點。
8.1 2019牛客多校5
E．independent set 1
簡要題意：N 個點的圖，求每一個導出子圖的最大獨立集，n<=26。
簡要題解：狀壓DP，將每個點相連的點也用二進制表示。去掉最高位的1來轉移， f[i]=max(f[ibin[j]],f[(i-bin[j])&(~e[j])]+1)。時間空間復雜度都是 2^n，用 1 字節的 char 來壓內存。
F．maximum clique 1
簡要題意： N 個點的圖，每兩個權值至少有兩個二進制位不同的點之間有邊，求最大團並輸出方案， n<=5000。
簡要題解：最大團等於補圖的最大獨立集，二分圖最大獨立集=總點數-最小點覆蓋。本題中補圖有邊相連的條件是只有一個二進制位不同，則同一點連向的兩個點一定有兩個二進制位不同，不會有邊相連，染色后就可轉化為二分圖。
輸出最大獨立集的方案是這道題的亮點。要在匈牙利算法結束后選擇左側未匹配點重復嘗試匹配，因為圖中已不存在增廣路，嘗試一定會失敗於一條匹配邊，並且是未匹配-匹配邊交錯。標記這 個過程中遇到的點，選取左側有標記的點和右側無標記的點即為最大獨立集，其余點為最小點覆蓋。
8.3 2019牛客多校6
I．Can They Go to Galar?
簡要題意：給出一個仙人掌，1號點有精靈，邊有邊權 p。一個已有精靈的點有 p 的概率使與它相連的點出現精靈，問最后期望精靈數。
簡要題解：用圓方樹處理仙人掌是常規操作，但是因為很久沒寫過圓方樹，開這道題的時間也非常晚，沒能 AC。從 1 開始 dfs，一個環中一定有一個點先被到達，稱之為起 點，那么從起點到達這個環中的其他點的概率為 1-（1-左側到達概率 p）*（1右側到達概率 q）。 由於建樹時按 dfs 序求點雙，一個方點連接周圍圓點的順序也是 dfs 序，按順序取出圓點最后一個恰是起點，故概率 p 和 q 可以用前綴/后綴積快速計算。被到達的概率*起點答案即為環中每個點答案，對於非環中點直接用起點*邊權求解。
8.5 2019HDU多校5
2. 6625 three arrays
簡要題意：給出兩個數組 a、b，c[i]=a[i]^b[i]，可隨意調整 a、b 中數字順序，求字典序最小的 c 數組。
簡要題解：本題容易聯想到 trie 樹，但如果沒有一些必要結論，貪心的正確性很難憑空理解。
我們把 a[i]在 b 數組剩余所有數中和 b[j]異或最小稱作a[i]選擇 b[j]，那么 a[i]b[j]若互相選擇則一定為最優解。a[i]選擇 b[j]，而 b[j]選擇a[k]體現了不等關系 a[k]^b[j]<a[i]^b[j]。若不斷地尋找最優，結尾一定是兩個數相互選擇——因為數字個數有限必定出環，環的大小不等於 2 則可沿不等關系推出 a[i]^b[j]>a[i]^b[j] 的矛盾。按照這種思路模擬，復雜度為 nlogv，trie 樹中查找最優復雜度為 logv， 每次查找或者出環消除兩個點，或者在隊列中新加一個點，次數都為 N。
但是貪心的編程復雜度遠低於上述解法，只需要每次在 trie 樹中找盡量近的兩點並刪去。我們假設在 trie 樹中找到了最近的 a[i]、 b[j]，若 a[i]沒有選擇 b[j]， 說明有更近的 b[k]，與最近矛盾；同理 b[j]也會選擇 a[i]。因為在 trie 樹中找的是每個分支最近的兩個葉子，而不是像上一個算法一樣固定一個去找另一個，所以它們一定互相選擇。在每個值最小后只需要排序就能得到最小字典序，僅僅憑這個輸出要求就推斷逐個確定的思路是不可取的。
8.7
G． What Goes Up Must Come Down
簡要題意：要把一個長度<=10^5 的序列通過 swap 調整為先單調不減再單調不增，問最小操作次數。
簡要題解：我們可以先考慮最小的一個數，因為任何其他數都不會越過它到達兩端。直接看這個數到哪一端逆序對數較小並選擇，因為這是最小數它並不會影響其他數的逆序對數。把最小數移到一端之后就變成了一個子問題，繼續取第二小數即可。對於這個算法來說相等的數沒有影響，先取任意一個都是一樣的。
8.8 2019牛客多校7
B． Irreducible Polunomial
簡要題意：給出一個 n 次多項式的系數，判斷它是否能在實數域內因式分解。
簡要題解：一個 n 次多項式有 n 個復數根，兩兩成對，任取一對相乘即可得到一個實數因式，因此三次及以上一定可以因式分解，而一次及以下一定不可以。二次能否因式分解要看德爾塔，若 b^2<4ac 則不能因式分解。
F． Energy stones
簡要題意：有 N 個石頭，每個初值為 ei，每秒增加 li，最高到達 ci。有 M 次詢問，每次獲得 ti 時間后一個區間[li,ri]的值之和，並且將這個區間的值置為 0，問所有詢問獲得的價值之和，n，m<=1e5。
簡要題解：注意到我們關注的是相鄰兩次詢問的時間差，那么一次詢問可以看成一個差分， 在 li 加入此次詢問，再在 ri+1 刪除。用一個 set 維護當前詢問，再用樹狀數組維護相鄰兩詢問的差。每塊石頭對答案的貢獻可以分成前后兩部分，即已經長到 ci 和還未長到 ci 的詢問差數，已經長到就用個數*ci，還未長到就用時間*li。注意第一次詢問要特殊處理，考慮 ei 的貢獻。
8.10 2019牛客多校8
A．All-one Matrices
簡要題意：給出一個長寬不超過3000的01矩陣，問最大全1矩形數。最大矩形即不被其他矩形包含的矩形。
簡要題解：預處理每個點向上延伸的連續1的個數和、向左延伸的l，然后掃每個點，對每一行h維護一個單調遞增的單調棧，每個棧中元素記錄向左延伸長度。當我們彈棧說明右側有一個不大於它的數，若這個數比它小，左、右、上三方都不能再延伸，只要用l判斷一下下方也不可延伸就可以貢獻答案了。
I. Inner World
簡要題意：開始有n棵只有1個點的樹，m個連邊操作，在區間[l.r]的u端點下連上v，保證v各不相同。之后有q個詢問，每次問區間[l,r]的x點子樹大小之和，n、m、q<=3e5。
簡要題解：因為v各不相同，我們可以建一棵樹，記錄每個點出現的區間。以dfs序為x坐標，出現區間為y坐標，每次詢問相當於詢問一個矩形的值。我們建一個大小為n的線段樹，依次掃描dfs序上每個點，把它出現的區間+1。離線詢問，一個詢問可以化為點x的dfs序中out處[l,r]-in-1處[l.r]的值。
8.14 2019HDU多校8
簡要題意：給一張n個點的圖，求長度為k的點不重復最長路，n<=1e4，2<=k<=6。
簡要題解：正解用了一個有趣的隨機化思想。隨機給點染上k種顏色，容易用狀壓dp求得包含k種顏色的最長路。如何保證原圖中最長路上的k個點恰好被染成不同顏色呢？多隨機幾次，每次正確的概率為k!/k^k，因為k很小，時間可以承受。
簡要題意：給出兩個邊與坐標軸平行的矩形，問它們把平面分成幾部分。
簡要題解：離散化之后並查集。
8.15 2019牛客多校9
J．Symmetrical Painting
簡要題意：一個白色平面內有n個黑色矩形，現在將任意部分染成白色，使余下黑色部分有一條與x軸平行的對稱軸，求黑色部分最大面積。n<=3e5.
簡要題解：將y坐標全部乘2，面積問題就變成了距離問題。
先證明最后答案一定為一個現有矩形的對稱軸：將對稱軸向上平移，一部分矩形對答案貢獻變大，一部分變小；貢獻由變大到變小當且僅當總體對稱軸穿過該矩形對稱軸時，所以最佳決策點一定在某個矩形對稱軸處。
之后做法比較簡單，從下到上移動對稱軸，預處理每個矩形開始貢獻答案、對答案貢獻由變大到變小、結束貢獻答案的對稱軸。對於每個對稱軸，未變化的矩形對答案的貢獻可以直接計算，發生變化的分別處理。每個矩形最多被特殊處理3次，時間復雜度為線性。
注意vector里雖然只有3n個元素，但是要求的初始內存較大。可以使用鄰接表，達到空間線性。