1.二分圖
二分圖概念，二分圖判定(dfs,bfs染色),二分圖最大匹配(匈牙利算法(O(M*N)）,Hopcroft-Karp算法(O(sqrt(n)*m))，最小點覆蓋，最大獨立集
二分圖相關參考博客：https://www.cnblogs.com/czsharecode/p/9777533.html
對匈牙利算法以及HK算法解析：https://www.cnblogs.com/penseur/archive/2013/06/16/3138981.html
結論總結：
最小路徑覆蓋 = 頂點數 – 最大二分匹配數
相關題目：HDU - 1151 Air Raid（最小路徑覆蓋） GCJ-2009 Round 2C) Stock Charts (最小路徑覆蓋)
最小點覆蓋 = 最大匹配數
無相圖最大匹配數 = 所求 最大匹配數/2 （重邊）
有向圖最大匹配數 = 所求 最大匹配數
相關題目：HDU - 1045 Fire Net （dfs 或 二分圖） HDU-1281 棋盤游戲 （二分圖最大匹配）
HDU - 1083 Courses （二分圖最大匹配模板）HDU-2819 Swap（二分圖最大匹配，路徑記錄）
HDU-2389 Rain on your Parade （最大匹配,HK函數）
最大獨立集 = 所有頂點數 - 最小頂點覆蓋 = 所有頂點數 - 最大匹配
(GCJ-2008 Round 3 C) No Cheating（最大獨立集）
匈牙利算法：
//匈牙利算法：（這里用的向前星表示）
//主函數用hungary()獲得最大匹配數
const int maxn = 500;//點數
int match[maxn];//表示匹配關系(左集合到右集合的匹配)
int vis[maxn];//表示是否被訪問過
//進行匹配
bool Find(int u){ for(int i = head[u]; ~i ;i =edge[i].next){ int v = edge[i].v; if(!vis[v]){ vis[v] = 1; if(!match[v]||Find(match[v])){ match[v] = u; return true; } } } return false; }
//記錄匹配個數
int hungary(){
int count = 0;
memset(match,0,sizeof(match));
for(int i =0;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(Find(i)) count++;
}
return count;
}
Hopcroft-Karp算法（HK算法模板）
//主函數種使用HK()即可得到最大匹配個數 const int INF = 0x3f3f3f3f; const int maxn = 500;//點數 int bmap[maxn][maxn];//二分圖 int cx[maxn];//左集合i匹配的右集合頂點序號 int cy[maxn];//右集合i匹配的左集合頂點序號 int n,m; int dis; int nx,ny;//左右集合個數 int dx[maxn],dy[maxn]; bool bmask[maxn]; //尋找增廣路徑,HK算法就是從一個點出發想要一次性尋找到多條增廣路徑 //所以使用bfs bool searchpath() { queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=1;i<=nx;i++) { //cx[i]表示左集合i頂點所匹配的右集合的頂點序號 if(cx[i]==-1) { //將未遍歷的節點 入隊 並初始化次節點距離為0 Q.push(i); dx[i]=0; } } //廣度搜索增廣路徑 while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; //取右側節點 for(int v=1;v<=ny;v++) { //右側節點的增廣路徑的距離 if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; //v對應的距離 為u對應距離加1 if(cy[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[cy[v]]=dy[v]+1; Q.push(cy[v]); } } } } return dis!=INF; } //尋找路徑 深度搜索 int findpath(int u) { for(int v=1;v<=ny;v++) { //如果該點沒有被遍歷過 並且距離為上一節點+1 if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { //對該點染色 bmask[v]=1; if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis) { continue; } if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) { cy[v]=u;cx[u]=v; return 1; } } } return 0; } //得到最大匹配的數目 int HK() { int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); memset(cy,-1,sizeof(cy)); while(searchpath()) { memset(bmask,0,sizeof(bmask)); for(int i=1;i<=nx;i++) { if(cx[i]==-1) { res+=findpath(i); } } } return res; }