楊表
在數學中，楊表（Young table）又稱楊氏矩陣，最初用於對稱群的表示理論。
楊圖由有限個相鄰的方格排列而成，其中，各橫行的左邊對齊，長度從上到下遞增。分為英式畫法和法式畫法，這里只討論標准楊表，
標准楊表：在楊圖的n個方格中任意填入1到n中的相異正整數，各行和各列中的數字皆嚴格遞增。
勾長、臂長、腿長
“臂長”是正右方的方格數，“腿長”是正下方的方格數，“勾長”是“臂長+腿長+1”
勾長公式
給定一個楊表πλ ，一共有n個方格。那么把1到n這n個數字填到這個楊表中，使得每行從左到右都是遞增的，每列從下到上也是遞增的（法式畫法）。用 dimπλ 表示這樣的方法個數。
勾長公式就是方法個數等於 n! 除以所有方格的勾長的乘積。
$$dim\pi _\lambda = \frac{n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}hook(x)}$$
例如，對於拆分10=5+4+1的楊表，
$$dim\pi _\lambda = \frac{10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot 1 = 288 }$$
n個方格的標准楊表個數
1，1，2，4，10，26，76，232，764，2620，9496，...（OEIS中的數列A000085）
遞推形式為：$f(n) = f(n-1) + (n-1)*f(n-2),\ f(0)=1, \ f(1)=1$
例如，n=3 時
例子
問題：1-16十六個數字分別填入十六格方框內，要求從左至右的數字是從小到大排列，從上至下的數字也是從小到大排列，問：有多少種排列方式。
分析：
這實際上一個楊氏矩陣問題。
直接使用勾子公式，
按照4*4矩陣的形狀，反對角線上的格子的鈎子長度是一樣的，
所以最終答案是：
$16!/(7*6^2*5^3*4^4*3^3*2^2*1)=24024$
參考鏈接：
1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A8%E6%B0%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5