大衍求一術的計算方法

引言

大衍求一術是秦九韶發明的一種求特殊一次同余式的方法，以下摘自百度百科

秦九韶，字道古，生活於南宋時期，自幼喜好數學，經過長期積累和苦心鑽研，於公元1247年寫成《數書九章》。這部中世紀的數學傑作，在許多方面都有創造，其中求解一次同余組的“大衍求一術”和求高次方程數值解的“正負開方術”，更是具有世界意義的成就。

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進入正題

對於形如ax ≡ 1 (mod n)，(a,n) = 1的同余式，秦九韶的大衍求一術給出了一種優秀的解法。

注意a,n必須互素

第一步我們令k₀ = 0，k₁ = 1, r₀ = n, r₁ = a，（k叫乘率，也是最后答案）

第二步我們讓 r₀ 和 r₁ 作帶余除法，即 r₀ = q₂r₁ + r_2，

第三步我們用 r₁ 和 r₂ 作帶余除法，即r₁ = q₃r₂ + r₃

...

直到出現r_n = 1， 這時我們帶回同余方程

定義k_n = k_n-2 - q_nk_n-1，依次回代求得k_n即是同余方程的解

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舉個栗子

37x ≡ 1 (mod 73)

(37,73)=1,所以滿足使用大衍求一術的條件

首先我們令k₀ = 0，k₁ = 1，r₀= 73，r₁=37

r₀/r₁: 73=37*1+36 =>q₂=1,r₂=36

r₁/r₂: 37=36*1+1 =>q₃=1,r₃=1

此時r₃=1，停止除法，代回求解

k₂=k₀-q₂k₁，

k₃=k₁-q₃k₂

=>k₃=2

因此37 x≡ 1 (mod 73)的解為

x ≡ 2 (mod 73)

 

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代碼實現

int dyqy(int a, int p)
{
    if (__gcd(a, p) != 1)
        return -1; //不能用大衍求一術
    vector<int> k, r, q;
    k.emplace_back(0), k.emplace_back(1); //k0=0,k1=1
    r.emplace_back(p), r.emplace_back(a); //r0=p,r1=a
    q.emplace_back(-1), q.emplace_back(-1);
    int i = 0;
    while (1)
    {
        int ra = r[i], rb = r[i + 1];
        int qtmp = ra / rb;
        int rtmp = ra % rb;
        q.emplace_back(qtmp);
        r.emplace_back(rtmp);
        ++i;
        if (rtmp == 1)
            break;
    }
    int sz = r.size();
    for (int i = 2; i < sz; i++)
    {
        int ktmp = k[i - 2] - k[i - 1] * q[i];
        k.emplace_back(ktmp);
    }
    return k.back();
}