二叉樹詳解

   樹是一種比較重要的數據結構，尤其是二叉樹。二叉樹是一種特殊的樹，在二叉樹中每個節點最多有兩個子節點，一般稱為左子節點和右子節點（或左孩子和右孩子），並且二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能任意顛倒。本篇博客將詳細為大家解析二叉樹。

 

首先介紹兩個概念：

滿二叉樹：在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都有左孩子和右孩子結點，並且葉子結點都集中在二叉樹的最下層，這樣的樹叫做滿二叉樹

 

如：

 

完全二叉樹：若二叉樹中最多只有最下面兩層的結點的度數可以小於2，並且最下面一層的葉子結點都是依次排列在該層最左邊的位置上，則稱為完全二叉樹

 

如：

 區別：滿二叉樹是完全二叉樹的特例，因為滿二叉樹已經滿了，而完全並不代表滿。所以形態你也應該想象出來了吧，滿指的是出了葉子節點外每個節點都有兩個孩子，而完全的含義則是最后一層沒有滿，並沒有滿。

 

      

二叉樹的鏈式存儲結構是一類重要的數據結構，定義結果為：

//定義樹的結構
struct node
{
    node * lchild;
    node * rchild;
    string data;
    //初始化
    node()
    {
        lchild=rchild=NULL;
    }
};

 

二叉樹的建立

 

首先我們用戶輸入生成一棵二叉樹，要生的的二叉樹如下圖所示：

#代表空結點。

 下面我們根據上面圖中所示的二叉樹，利用先序依次輸入ABDG###E#H##C#F##(即先序遍歷）

生成二叉樹的代碼如下：

//二叉樹生成--先序遍歷輸入要生成的二叉樹數據，#代表空結點
void CreateTree(node * & root)
{
     char data;
     cin>>data;
     if(data!='#')
     {
         root=new node;
         root->data=data;

         CreateTree(root->lchild);

         CreateTree(root->rchild);

     }
}

 

二叉樹節點查找

采用遞歸的方法在二叉樹root里查找只為aim的結點，若找到此節點則返回其指針，否則返回NULL

查找代碼如下：

//檢查二叉樹是否包含數據aim,有則返回其指針
node * Findnode(node * & root,string aim)
{
    node * p;
    if(root==NULL)//空樹
        return NULL;
    else if(root->data==aim)
        return root;
    else
    {
        p=Findnode(root->lchild,aim);
        if(p!=NULL)
            return p;
        else
            return Findnode(root->rchild,aim);
    }
}

 這里解釋一下遞歸中的return的意思：

return 對當前函數來說是結束了，對調用它的父函數來說你這個函數執行完成了，父函數就會接着執行下一語句。
沒想到父函數馬上又遇到一個return,父函數結束了，對爺爺函數來說父函數執行完成了，爺爺函數就接着執行下一個語句

 

二叉樹遍歷

1.先序遍歷

先序遍歷過程是：

1）訪問根結點

2）先序遍歷左子樹

3）先序遍歷右子樹

先序遍歷代碼為：

 

void  PreOrder(node * root)//先序遍歷
{
    if(root!=NULL)
    {
        cout<<root->data;
        PreOrder(root->lchild);
        PreOrder(root->rchild);
    }
}

 

2.中序遍歷

中序遍歷過程是：1）中序遍歷左子樹

2）訪問根結點

3）中序遍歷右子樹

 

中序遍歷的代碼：

 

void  InOrder(node * root)//中序遍歷
{
    if(root!=NULL)
    {

        InOrder(root->lchild);
        cout<<root->data;
        InOrder(root->rchild);
    }
}

 

3.后續遍歷后序遍歷過程是：

1）后序遍歷左子樹

2）后序遍歷右子樹3）訪問根結點

 

后序遍歷代碼為：

 

void  PostOrder(node * root)//后序遍歷
{
    if(root!=NULL)
    {

        PostOrder(root->lchild);
        PostOrder(root->rchild);
        cout<<root->data;
    }
}

 

二叉樹高度計算

遞歸解法：
（1）如果二叉樹為空，二叉樹的深度為0
（2）如果二叉樹不為空，二叉樹的深度 = max(左子樹深度， 右子樹深度) + 1

代碼如下：

int NodeHeight(node * root)//計算二叉樹高度
{
    int lchild,rchlid;
    if(root==NULL)
        return 0;
    else
    {
        lchild=NodeHeight(root->lchild);
        rchlid=NodeHeight(root->rchild);
        return (lchild>rchlid)?(lchild+1):(rchlid+1);
    }
}

 

 

輸出二叉樹葉子節點

遞歸解法：
參考代碼如下：

void Showleaf(node * root)
{
    if(root!=NULL)
    {
        if(root->lchild==NULL&&root->rchild==NULL)
            cout<<root->data;
        Showleaf(root->lchild);//輸出左子樹葉子節點
        Showleaf(root->rchild);//輸出右子樹葉子節點
    }
}

 

運行結果為：

 

附上源代碼地址：https://github.com/longpo/algorithm/tree/master/Btree

 

遞歸分析

上面源代碼中，大量運用了遞歸算法，

下面我們來分析其中一個遞歸的過程。

二叉樹結構為：

 利用先序遍歷，即代碼為：

void  PreOrder(node * root)//先序遍歷
{
    if(root!=NULL)
    {
        cout<<root->data;
        PreOrder(root->lchild);
        PreOrder(root->rchild);
    }
}

 

畫出其運行狀態圖：