數據結構（二）--- 紅黑樹

一、簡述

紅黑樹是一種特殊的二叉樹，並且是優秀的自平衡查找樹，下圖為紅黑樹的示例：

紅黑樹具有以下幾大特性：

1、根節點為黑色。

2、所有節點都是黑色或紅色。

3、所有葉子節點（Null）都是黑色。

4、紅色節點的子節點一定是黑色的。

5、任意一個節點到其葉子節點的所有路徑上的黑色節點數量相同（黑色完美平衡二叉樹）。

以上的五大特定也是維持紅黑樹結構的基本規則，但是明白了這些規則，不代表我們就明白了紅黑樹的設計原理及規則維持算法。

在我們日常的工作中多多少少都會接觸到紅黑樹，特別是JDK1.8之后hashmap的底層采用了紅黑樹機構，接下來的博文中我們會一點點弄明白以下幾個問題，也是筆者在學習之前不明白的兩個問題：

1、紅黑樹為什么要維持自平衡、自平衡的好處是什么？

2、什么是左旋，右旋，變色？

3、什么條件下需要進行左旋、右旋、變色？

二、紅黑樹的自平衡

根據上一節紅黑樹特性第5點可以知道，紅黑樹是一顆黑色完美平衡二叉樹，紅黑樹從根節點到葉子結點的最長路徑不會超過最短路徑的2倍；

這就保證了紅黑樹優秀的查找性能，其查找的時間復雜度為O(logn)；

當插入或刪除階段操作過程中，會破壞此平衡結構，當平衡遭到破壞，程序會進行一系列操作來重新維持平衡，這一過程就是自平衡；這一系列操作就是左旋、右旋、變色。 

1、左旋：

對當前節點進行左旋：當前節點的右子節點變為父節點，原右子節點的左子節點變為當前節點的右子節點，如圖演示（對150節點進行左旋）：

上圖對150節點左旋：

1. 把150節點的右子節點170變為其父節點（170變為150的父節點）。
2. 把150節點的原右子節點170的左子節點160變為其右子節點（160變為150的右子節點）。

注意：

• • 圖中只是示意圖，在第一步之后，170節點並沒有三個指向其他節點的指針，這里只是為了理解起來更清晰
  • 圖中只是進行左旋，還沒有涉及變色問題，所以會看到父節點與子節點同色問題。
  • 左旋操作涉及到的節點只是當前節點的右子節點和右子節點的左子節點兩個節點，其他節點不變。

2、右旋：

對當前節點進行右旋：當前節點的左子節點變為父節點，原左子節點的右子節點變為當前節點的左子節點，如圖演示（對150節點進行右旋）：

上圖對150節點進行右旋：

1. 把150節點的左子節點130變為其父節點（130變為150的父節點）。
2. 把150節點的原左子節點130的右子節點null節點變為其左子節點（130的原右子節點null變為150的左子節點）。

 注意：

• • 圖中只是示意圖，在第一步之后，130節點並沒有三個指向其他節點的指針，這里只是為了理解起來更清晰
  • 圖中只是進行左旋，還沒有涉及變色問題，所以會看到父節點與子節點同色問題。
  • 右旋操作涉及到的節點只是當前節點的左子節點和左子節點的右子節點兩個節點，其他節點不變。

3、變色：

節點的變色：就是節點由紅色變成黑色或有黑色變成紅色。

而在實際的維持自平衡的過程中變色過程有可能是一個連鎖反應，而破壞平衡結果的操作有插入和刪除。 

三、節點的插入

紅黑樹新節點的插入有可能會破壞現有的平衡結構，所以就需要進行節點的變色、左旋或者右旋操作來保持紅黑樹的平衡；但插入操作的情況區分比較多，這也正是紅黑樹自平衡結構不容易理解的地方之一；

下圖就是插入的所有情況，接下來會有針對每種情況進行詳細講解：

其他3種情況非常簡單，這里詳細說明第四種情況：

C - current 當前節點，P - parent 父節點，PP - 祖父節點，U - uncle 叔叔節點， O - 其他節點 

情況4、P 為紅色

4.1、P 為紅色且 U 為紅色 （如圖 4.1）

（1）將 P 設為黑色

（2）將 U 設為黑色

（3）將 PP 設為紅色

（4）將 PP 設為當前節點（這時 PP 就為 C 節點了），重復情況4判斷

 

 

4.2、P 為紅色且 U 不存在或為黑色 

4.2.1、P 是左節點，C 左節點 （P 為紅色且 U 不存在或為黑色）（如圖4.2.1）

（1）將 P 設為黑色

（2）將 PP 設為紅色

（3）對 PP 進行右旋

 

4.2.2、P 是左節點，C 右節點 （P 為紅色且 U 不存在或為黑色）（如圖4.2.2）

（1）對 P 進行左旋

（2）設 PP 為當前節點

（3）此時結構變為 4.2.1 結構，繼續進行 4.2.1 操作

 

4.2.3、P 是右節點，C 右節點 （P 為紅色且 U 不存在或為黑色）（如圖4.2.3）

（1）將 P 設為黑色

（2）將 PP 設為紅色

（3）對 PP 進行左旋

4.2.4、P 是右節點，C 左節點 （P 為紅色且 U 不存在或為黑色）（如圖4.2.4）

（1）對 P 進行右旋

（2）設 PP 為當前節點

（3）此時結構變為 4.2.3 結構，繼續進行 4.2.3 操作

 

節點插入總結：

• • 當前節點（新插入的節點）會在旋轉變色之前就設置為紅色；為什么插入節點為紅色？因為根據紅黑樹的特性，當父節點為黑色時，不需要做自平衡操作，如果為黑色，那么插入后褐色層次增加了，破壞特性5。
  • 在4.1情況中(P為紅色且U為紅色)如果重復遞歸判斷到根節點，把根節點設置成了紅色，則根據特性1，必須把根節點變回黑色，此時紅黑樹的黑色節點層次就增加了一層（自底向上生長）。

 四、節點的刪除

紅黑樹的節點插入比較復雜，刪除操作更加復雜，但掌握了規律理解起來就簡單多了；

說到節點刪除之前，需要先了解一下前繼節點和后繼節點的概念，筆者學習過程中看到一個非常容易理解的描述，如下圖：

把所有的節點投射到X軸上，這時所有的節點都是自左至右排好的，這樣某個節點的左邊的節點就是它的前繼節點，右邊的節點就是它的后繼節點。

由上圖可以看到，后繼節點是右子樹的最左節點，前繼節點是左子樹的最右節點。

如150節點的前繼節點就是130，后繼節點就是160。

節點刪除后空出的位置需要找到其后繼節點或前繼節點進行補位，如果被刪除的節點沒有子節點還好，要是有子節點，不補位的話樹就散了；並且補位之后有可能會破壞紅黑樹的平衡結構，這時就需要進行自平衡了。

所以節點的刪除過程可以理解為尋找后繼節點或前繼節點（一般習慣用后繼幾點）進行補位后進行自平衡的過程；這樣理解，節點刪除問題就可以轉換為補位節點（后繼節點）的問題，補位完成后節點的顏色變為被刪除的顏色。

而這一結果再簡單就可以理解為：補位節點（后繼節點）的刪除的自平衡問題，后繼節點總是在樹的最底層。

這樣一來就可以區分補位節點的幾種情況：

 

R - replace 補位節點，P - parent 父節點，PP - 祖父節點，B - brother 兄弟節點，BL - brother left 兄弟節點左子節點，BR - brother right 兄弟節點右子節點， O - 其他節點 

情況1： R 為紅色

情況1比較簡單，紅色節點不影響紅黑樹的自平衡結構，所以直接補位，並把顏色轉換為被刪除節點的顏色。

情況2： R 為黑色

2.1、R 為左子節點

2.1.1、R 為黑色且為左子節點，B 為紅色（如圖 2.1.1）

(1)、將 B 設為黑色
(2)、將 P 設為紅色
(3)、對 P 進行左旋，得到 2.1.2.3 情況
(4)、按照 2.1.2.3 情況進行處理

2.1.2、R 為黑色且為左子節點，B 為黑色

2.1.2.1、R 為黑色且為左子節點，B 為黑色，BR 為紅色，BL 為任意（如圖 2.1.2.1）

(1)、將 B 設為 P 的顏色
(2)、將 P 設為黑色
(3)、將 BR 設為黑色
(4)、對 P 進行左旋

在此處有幾個問題，注意上圖框出的部分

1、為什么此處不符合自平衡結構？

回答：節點的刪除是先找到補位節點（后繼節點），然后自平衡處理，然后才進行補位，所以此處的 R 之后會移走的，所以還是符合自平衡結構。

2、BL 可能為黑色節點么？

回答：BL 不可能為黑色節點，但其可能為黑色葉子節點（NULL節點），下邊用窮舉法進行證明；

我們知道，在節點刪除之前（第一次刪除），紅黑樹是保持平衡結構的，那么如果 BL 為黑色，那么有一下幾種情況：

1）P 為黑色，BL 為黑色，如下圖（1），不平衡，不成立。

2）P 為紅色，BL 為黑色，如下圖（2），不平衡，不成立。

3）P 為紅色，BL 為黑色葉子節點（NULL），如下圖（3），平衡，成立。

4）P 為黑色，BL 為黑色葉子節點（NULL），如下圖（4），平衡，成立。

5）BL 為紅色，如下圖（5），平衡，成立。

綜上：BL 只可能為紅色節點或黑色葉子節點（NULL）。

2.1.2.2、R 為黑色且為左子節點，B 為黑色，BR 為黑色，BL 為紅色（如圖 2.1.2.2）

(1)、將 B 設為紅色
(2)、將 BL 設為黑色
(3)、對 B 進行右旋，得到 2.1.2.1 情況
(4)、按照 2.1.2.1 情況進行處理

  

2.1.2.3、R 為黑色且為左子節點，B 為黑色，BR 為黑色（NULL），BL 為黑色（NULL）（如圖 2.1.2.3）

(1)、將 B 設為紅色
(2)、將 P 作為新的補位節點
(3)、重新進行刪除節點處理

 

需要注意：

• • 這時 P 就是 將要被移走的 R 的補位節點（后繼節點）。
  • 此種情況下其實 BL，BR 都是黑色的葉子節點（NULL）。
  • B 變為紅色是的原因是整顆子樹都是黑色的節點，R 移走后，無論如何操作都沒辦法在子樹內自平衡，所以，最簡單的操作把 B 變為紅色，這樣就自平衡了；但是這樣一來 子樹內部的黑色節點層數少了一層，這樣從 P 子樹的上一層數來看就是不平衡的了，所以要將 P 看成新的補位節點，進行自平衡操作，自底向上，直至根節點。

2.2、R為右子節點

2.2.1、R 為黑色且為右子節點，B 為紅色（如圖 2.2.1）

(1)、將 B 設為黑色
(2)、將 P 設為紅色
(3)、對 P 進行右旋，得到 2.2.2.3 情況
(4)、按照 2.2.2.3 情況進行處理

2.2.2、R 為黑色且為右子節點，B 為黑色

2.2.2.1、R 為黑色且為右子節點，B 為黑色，BL 為紅色，BR 為任意（如圖 2.2.2.1）

(1)、將 B 設為 P 的顏色
(2)、將 P 設為黑色
(3)、將 BL 設為黑色
(4)、對 P 進行右旋

注意：

此種情況請參考 2.1.2.1中的問題與回答。 

2.2.2.2、R 為黑色且為右子節點，B 為黑色，BL 為黑色，BR 為紅色（如圖 2.2.2.2）

(1)、將 B 設為紅色
(2)、將 BR 設為黑色
(3)、對 B 進行左旋，得到 2.2.2.1 情況
(4)、按照 2.2.2.1 情況進行處理

 

2.2.2.3、R 為黑色且為右子節點，B 為黑色，BL 為黑色（NULL），BR 為黑色（NULL）（如圖 2.2.2.3）

(1)、將 B 設為紅色
(2)、將 P 作為新的補位節點
(3)、重新進行刪除節點處理

 

需要注意：

參考 2.1.2.3 下方的需要注意說明

節點刪除總結：

1. 節點的刪除情況比較多，但左右子節點情況是對稱的，理解了其中一種，另一種也很快會理解。
2. 補位節點可以用前繼節點代替，也可以用后繼節點代替，一般習慣用后繼節點。
3. 節點刪除過程是先找到補位節點，然后進行自平衡處理，然后才會移除補位節點，即帶補位節點的自平衡。
4. 在全黑節點的情況下，可能發類似遞歸的生自底向上的尋找補位節點的過程，到根節點為止。
5. 自平衡的順序可以理解為，先自己處理，處理不了找兄弟節點參與，還處理不了找父節點參與，還處理不了讓父節點找父節點的兄弟處理，以此類推。

五、紅黑樹總結 

通過上邊對紅黑樹的詳細諒解，我們就可以回答開始提出的問題了。

1、紅黑樹為什么要維持自平衡、自平衡的好處是什么？

答：紅黑樹是一個高效的查詢樹，保持平衡結構，可以保證從根節點到葉子節點的最長路徑不超過最短路徑的兩倍，可以保證查詢效率。

2、什么是左旋，右旋，變色？

答：左旋、右旋、變色都是對節點所在子樹的操作，以節點為基進行變化保持樹的平衡的操作。

3、什么條件下需要進行左旋、右旋、變色？

答：當發生節點插入或刪除操作時，紅黑樹的平衡被破壞，這是就要根據具體的情況進行自平衡操作，即左旋、右旋或變色。

• 紅黑樹的結構比較復雜，無論是節點的插入還是刪除，都有可能破壞自平衡結構，而自平衡過程最復雜情況可能是自底向上處理，直到根節點。
• 紅黑樹是平衡二叉樹，但不是完美的平衡二叉樹，只是黑色完美的平衡二叉樹（性質5）
• 紅黑樹的五條性質任意一套被破壞都觸發自平衡操作。
• 紅色節點的子節點一定是黑色，但黑色節點的子節點則可以是紅色和黑色任意一種，即可以有相鄰的兩層節點都是黑色的情況，如圖：

 

 

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