白化（預處理步驟）【轉】

本文轉載自查看原文 2019-07-24 21:30 1307

白化（預處理步驟）【轉】

介紹

我們已經了解了如何使用PCA降低數據維度。在一些算法中還需要一個與之相關的預處理步驟，這個預處理過程稱為白化。舉例來說，假設訓練數據是圖像，由於圖像中相鄰像素之間具有很強的相關性，所以用於訓練時輸入是冗余的。白化的目的就是降低輸入的冗余性；更正式的說，我們希望通過白化過程使得學習算法的輸入具有如下性質：（i）特征之間相關性較低；（ii）所有特征具有相同的方差。

2D的例子

下面我們先用前文的2D例子描述白化的主要思想，然后分別介紹如何將白化與平滑和PCA相結合。

如何消除特征之間的相關性？在前文計算 $\textstyle x_{\rm rot}^{(i)} = U^Tx^{(i)}$ 時實際上已經消除了輸入特征 $\textstyle x^{(i)}$ 之間的相關性。得到的新特征 $\textstyle x_{\rm rot}$ 的分布如下圖所示：

這個數據的協方差矩陣如下：

$\begin{align} \begin{bmatrix} 7.29 & 0 \\ 0 & 0.69 \end{bmatrix}. \end{align}$

（注：嚴格地講，這部分許多關於“協方差”的陳述僅當數據均值為0時成立。下文的論述都隱式地假定這一條件成立，不過即使數據均值不為0，下文的說法仍然成立，所以你無需擔心這個。）

$\textstyle x_{\rm rot}$ 協方差矩陣對角元素的值為 $\textstyle \lambda_1$ 和 $\textstyle \lambda_2$ 絕非偶然。並且非對角元素值為0; 因此, $\textstyle x_{{\rm rot},1}$ 和 $\textstyle x_{{\rm rot},2}$ 是不相關的, 滿足我們對白化結果的第一個要求 (特征間相關性降低)。

為了使每個輸入特征具有單位方差，我們可以直接使用 $\textstyle 1/\sqrt{\lambda_i}$ 作為縮放因子來縮放每個特征 $\textstyle x_{{\rm rot},i}$ 。具體地，我們定義白化后的數據 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}} \in \Re^n$ 如下：
$\begin{align} x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i}}. \end{align}$

繪制出 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ ，我們得到:

這些數據現在的協方差矩陣為單位矩陣I。我們說， $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 是數據經過PCA白化后的版本: $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中不同的特征之間不相關並且具有單位方差。

白化與降維相結合：如果你想要得到經過白化后的數據，並且比初始輸入維數更低，可以僅保留 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中前 $\textstyle k$ 個成分。當我們把PCA和正則化結合起來時（在稍后討論）， $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中最后的少量成分將總是接近於0，因而舍棄這些成分不會帶來很大的問題。

ZCA白化

最后要說明的是，是數據的協方差矩陣變為單位矩陣I的方式並不唯一。具體地，如果R是任意正交矩陣，即滿足 $\textstyle RR^T = R^TR = I$ （說它正交不太嚴格，R可以是旋轉或反射矩陣），那么

$\textstyle R \,x_{\rm PCAwhite}$ 仍然具有單位協方差。在ZCA白化中，令 $\textstyle R = U$ 。我們定義ZCA白化的結果為： $\begin{align} x_{\rm ZCAwhite} = U x_{\rm PCAwhite} \end{align}$

繪制 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ ，得到：

可以證明，對所有可能的R，這種旋轉式的 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ 盡可能地接近原始輸入數據x。當使用ZCA白化時（不同於PCA白化），我們通常保留數據的全部n個維度，不嘗試去降低它的維數。

正則化

實踐中需要實現PCA白化或ZCA白化時，有時一些特征值 $\textstyle \lambda_i$ 在數值上接近於0，這樣在縮放步驟時我們除以 $\sqrt{\lambda_i}$ 將導致除以一個接近0的值；這可能會導致數據上溢（賦為最大值）或造成數值不穩定。因而在實踐中，我們使用少量的正則化實現這個縮放過程，即在取平方根和倒數之前給特征值加上一個很小的常數 $\textstyle \epsilon$ ：

$\begin{align} x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i + \epsilon}}. \end{align}$

當 $\textstyle x$ 在區間 $\textstyle [-1,1]$ 上時, 一般取值為 $\textstyle \epsilon \approx 10^{-5}$ 。

對圖像來說，這里加上 $\textstyle \epsilon$ ，對輸入圖像也有一些平滑（或低通濾波）的作用。這樣處理還能消除在圖像的像素信息獲取過程中產生的噪聲，改善學習到的特征。

ZCA白化是一種數據預處理方法，它將數據從 $\textstyle x$ 映射到 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ 。

事實證明這也是一種生物眼睛（視網膜）處理圖像的粗糙模型。具體而言，當你的眼睛感知圖像時，由於一幅圖像中相鄰的部分在亮度上十分相關，大多數臨近的“像素”在眼中被感知為相近的值。因此，如果人眼需要分別傳輸每個像素值（通過視覺神經）到大腦中，會非常不划算。取而代之的是，視網膜進行一個與ZCA中相似的去相關操作（這是由視網膜上的ON-型和OFF-型光感受器細胞將光信號轉變為神經信號完成的）。由此得到對輸入圖像的更低冗余的表示，並將它傳輸到大腦。

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