補碼的理解（-128的補碼解釋）

作者：何新宇
鏈接：https://www.zhihu.com/question/20159860/answer/21113783
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以前寫過一篇blog： 補碼、負數和減法，盡管不是很對題，但依然希望能給題主帶來幫助
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背景

復習c++的時候遇到二進制編碼問題，上網搜索了一番，終於有點眉目。 一般來說，初學二進制編碼時，會看到如下描述：

原碼表示法是機器數的一種簡單的表示法。其符號位用0表示正號，用：表示負號，數值一般用二進制形式表示。

機器數的反碼可由原碼得到。如果機器數是正數，則該機器數的反碼與原碼一樣；如果機器數是負數，則該機器數的反碼是對它的原碼（符號位除外）各位取反而得到的。

機器數的補碼可由原碼得到。如果機器數是正數，則該機器數的補碼與原碼一樣；如果機器數是負數，則該機器數的補碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反，並在未位加1而得到的。

如果是為了考試，死記即可。但我總想搞清楚為什么計算機里面的數要這樣子表達？意義何在？-128的補碼為什么是10000000？為什么補碼有這么奇怪的運算規則？計算機算減法的時候都需要從源碼到補碼的計算嗎？

思路

google了一下，看到了這樣一篇文章，注意到文中關於補碼來歷的描述，可以總結如下：

1. 計算機里面，只有加法器，沒有減法器，所有的減法運算，都必須用加法進行。
2. 用補數代替原數，可把減法轉變為加法。出現的進位就是模，此時的進位，就應該忽略不計。
3. 二進制下，有多少位數參加運算，模就是在 1 的后面加上多少個 0。
4. 補碼就是按照這個要求來定義的：正數不變，負數即用模減去絕對值。

補充解釋一下“模”的概念（不准確）：
考慮時鍾上時間的計算，假設現在時針指向數字3，若問“6小時前時針指向的數字是幾”，則可以：
1. 將時針逆時針撥動6格。
2. 將時針順時針撥動12 - 6 = 6格。

兩者的結果是一樣的。這里稱12為“模”。
故有 3時 - 6個小時 = 3時 + （12 - 6個小時），這里可以看到將減法轉換成加法的過程，即“加上模減去絕對值的差”。

所以，假設模是10，有效位數為1，當我們計算 9 - 7 的時候：
9 - 7 => 9 + (10 - 7) = 12，去掉最高的位后，得到2，這是正確的結果。
從9 - 7 = 2 和 9 + （10 - 7） = 12可以憑后者比前者多“1”來看出前者中“7”的正負號。

作者的意思是說，計算機里面所有數都以補碼形式保存，加減運算都是補碼之間的加法運算。然后作者提出了一個我之前沒聽過的觀點：

補數 和 補碼的定義式 里面，根本就沒有什么符號位。這最高位的1、0是自然出現的，並不是由人來規定的。

的確，符號位在補碼運算里面是“模”，本身並不帶符號的意義。因為計算機將加法轉換成加上一個“負數”，而負數又以補碼的形式表現。補碼比源碼多一位，從這多出來的一位可以推斷出原來數字的正負號，所以成為了符號位。也可以這樣認為，留出一位（不全部占滿）的原因是要用“模”來表示正負數。

也就是說，不是特意留出一個符號位，用1和0來表示正負號。而是補碼運算可以用最高位來表示正負，所以符號位誕生了。

那么為什么-128的補碼是10000000？可以這樣理解。-128是一個負數，所以它的補碼是它的“模”減去它的絕對值，即：

100000000 - 10000000 = 10000000

那么為什么負數補碼等於源碼的反碼加一呢？可以這樣推導：

100000000 - 10000000 
= (11111111 + 00000001) - 10000000 
= 11111111 - 10000000 + 1 
= 01111111 + 1 //反碼加一
= 10000000

由此我們得知，在計算機里面所有的數字都以補碼形式存儲。127存成01111111，-127存成11111111，算減法就變成算加法了，盡管你看到的是“-”號。

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今天讀《計算機組成-結構化方法》后，對這個問題有了新的理解。

將負數用補碼表示，實際上是實現了一種從[-128, 127]到[0, 255]的映射。如下所示：

+----------------------------+
| 255      -1      11111111  |
| 254      -2      11111110  |
| 253      -3      11111101  |
| 252      -4      11111100  |
| 251      -5      11111011  |
| 246      -10     11110110  |
| 236      -20     11101100  |
| 226      -30     11100010  |
| 216      -40     11011000  |
| 206      -50     11001110  |
| 196      -60     11000100  |
| 186      -70     10111010  |
| 156      -100    10011100  |
| 129      -127    10000001  |
| 128      -128    10000000  |
| 127      127     01111111  |
| 100      100     01100100  |
| 70       70      01000110  |
| 60       60      00111100  |
| 50       50      00110010  |
| 40       40      00101000  |
| 30       30      00011110  |
| 20       20      00010100  |
| 10       10      00001010  |
| 5        5       00000101  |
| 4        4       00000100  |
| 3        3       00000011  |
| 2        2       00000010  |
| 1        1       00000001  |
| 0        0       00000000  |
+----------------------------+