統計逆序對的兩種解法

歸並排序(mergeSort)

逆序對定義

\(i<j\) 但\(a[i]>a[j]\),假設我們分別使得通過mergeSort使得左右半邊有序

即\(a[1]...a[mid]\) 遞增, \(a[mid+1]....a[n]\)遞增,我們需要通過merge操作，完成整個的排序和新增逆序對的計數，較小值出現在左半邊記為 a[i],出現在右半邊即為 a[j],那么每次出現在右半邊，意味左半邊比a[i]大的數都比a[j]大，由此可以統計逆序對
HDU1394

代碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db(x) cout<<"["<<#x<<"]="<<x<<endl
/*
歸並排序求逆序對+規律

*/
const int maxn = 5010;
int a[maxn];
int c[maxn];
int b[maxn];
//mergeSort
int n;
int merge1(int* a,int l1,int r1,int l2,int r2){
    int p1=l1,p2 = l2;
    int t = 0;
    int cnt = 0;
    //db(a[p1]);db(a[p2]);
    while(p1<=r1&&p2<=r2){
        if(a[p1]<a[p2]){
            b[t] = a[p1];
            p1++;
            t++;
        }
        else{//a[p1]>a[p2]; a[p2] 小於 p1...r1所有數
            b[t] = a[p2];
            cnt+=(r1-p1+1);
            //db(cnt);
            p2++;
            t++;
        }
    }
    while(p1<=r1){b[t]=a[p1];p1++,t++;}
    while(p2<=r2){b[t]=a[p2];p2++,t++;}
    for(int k=0;k<t;k++){
        a[l1+k] = b[k];
    }
    //db(cnt);db(l1);db(r1);db(l2);db(r2);
    return cnt;

}
int mergeSort(int* a,int l,int r){
    if(l==r) return 0;
    int cnt = 0;
    int mid = (l+r)>>1;
    cnt+=mergeSort(a,l,mid);
    cnt+=mergeSort(a,mid+1,r);
    cnt+=merge1(a,l,mid,mid+1,r);
    return cnt;
}
int main(){
    while(cin>>n){
        for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];c[i]=a[i];}
        int tmp = mergeSort(a,0,n-1);
        //db(tmp);
        int mint = tmp;
        for(int i=0;i<n-1;i++){
            tmp +=n-1-2*c[i];
            //db(tmp);
            mint = min(tmp,mint);
        }
        cout<<mint<<endl;


    }
    return 0;
}

線段樹

線段樹的解法非常簡單，每次插入a[i] ,同時對a[i]+1....n-1進行計數；

此時要求元素范圍不能太大，當然如果是在\(1..n\)之間，那么非常理想

代碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db(x) cout<<"["<<#x<<"]="<<x<<endl
const int maxn = 5e3+10;
struct node{
    int l,r,num; //num維護的信息是節點插入的區間插入節點的數目
}tr[maxn<<2];//線段樹
int a[maxn];
void build(int n,int x,int y){//n是根節點下標,x,y是維護的區間范圍
    tr[n].l = x,tr[n].r = y;
    tr[n].num = 0;
    if(x==y) return ;
    int mid = (x+y)>>1;//no over
    build(n<<1,x,mid);
    build(n<<1|1,mid+1,y);
    tr[n].num = tr[n<<1].num+tr[n<<1|1].num;
}
void modify(int n,int p){//跟新區間單點p的信息
    int l = tr[n].l, r= tr[n].r;
    if(l==r&&l==p){//found
        tr[n].num=1;
        return ;
    }
    int mid = (l+r)>>1;
    if(p<=mid) modify(n<<1,p);
    if(p>mid) modify(n<<1|1,p);
    tr[n].num = tr[n<<1].num+tr[n<<1|1].num;
}
int query(int n,int x,int y){
    int l = tr[n].l , r=tr[n].r;
    int mid = (l+r)>>1;
    int ans = 0;
    if(l>=x&&r<=y){//x,y覆蓋了l,r
        return tr[n].num;
    }
    if(x<=mid) ans+=query(n<<1,x,y);
    if(y>mid) ans+=query(n<<1|1,x,y);
    return ans;
}
int n;
int main(){
    while(cin>>n){
        build(1,0,n-1);
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>a[i];
            int t=query(1,a[i]+1,n-1);
            //db(t);
            ans+=t;
            modify(1,a[i]);
        }
        int mint = ans;
        //db(ans);
        for(int i=0;i<n-1;i++){
            ans+=(n-1-2*a[i]);
            mint = min(ans,mint);
        }
        cout<<mint<<endl;
    }
    return 0;
}