計算頻響函數和相干函數

頻響函數（FRF）

 頻率響應函數表征了測試系統對給定頻率下的穩態輸出與輸入的關系。這個關系具體是指輸出、輸入幅值之比與輸入頻率的函數關系，和輸出、輸入相位差與輸入頻率的函數關系。這兩個關系稱為測試系統的頻率特性。頻率響應函數一般是一個復數。

頻率響應函數直觀地反映了測試系統對各個不同頻率正弦輸入信號的響應特性。通過頻率響應函數可以畫出反映測試系統動態特性的各種圖形，簡明直觀。此外，很多工程中的實際系統很難確切地建立其數學模型，更不易確定其模型中的參數，因此要完整地列出其微分方程式並非易事。所以，工程上常通過實驗方法，對系統施加激勵，測量其響應，根據輸入、輸出關系可以確立對系統動態特性的認識。因而頻率響應函數有着重要的實際意義。

和傳遞函數之間的關系

在系統傳遞函數  已經知道的情況下，若系統是穩定的，令  中  的實部為零，即令  代入 ，可以得到系統的頻率響應函數 。

若在 時刻將輸入信號接人定常線性系統，令 代入拉普拉斯變換中，實際上是將拉普拉斯變換變成傅里葉變換。又由於系統的初始條件為零，因此系統的頻率響應函數 就成為輸出 、輸入 的傅里葉變換 之比，即

上式告訴我們，在測得輸出 和輸入后，由其傅里葉變換可求得頻率響應函數 。

需要注意的是，頻率響應函數是描述系統的簡諧輸入和其穩態輸出的關系，在測量系統頻率響應函數時，必須在系統響應達到穩態階段時才能測量。

 

傳遞函數是在復數域中來描述和考察系統的特性的，比在時域中用微分方程來描述和考察系統特性有許多優點。但是工程中的許多系統卻極難建立其微分方程式和傳遞函數，而且傳遞函數的物理概念也很難理解。

 

頻率響應函數是在頻率域中描述和考察系統特性的。與傳遞函數相比較，頻率響應函數的物理概念明確，也易通過實驗來建立；利用它和傳遞函數的關系，由它極易求出傳遞函數。因此頻率響應函數是實驗研究系統的重要工具。

 

意義

根據定常線性系統的頻率保持性，系統在簡諧信號  的激勵下，所產生的穩態輸出也是簡諧信號） 。此時輸入和輸出雖為同頻率的簡諧信號，但兩者的幅值並不一樣，其幅值比 隨頻率 而變，是 的函數。相位差 也是頻率  的函數。

 

可以證明，定常線性系統在簡諧信號的激勵下，其穩態輸出信號和輸入信號的幅值比就是該系統的幅頻特性，即 ；穩態輸出對輸入的相位差就是該系統的相頻特性，即 。兩者統稱為系統的頻率特性。因此，系統的頻率特性就是系統在簡諧信號激勵下，其穩態輸出對輸入的幅值比、相位差隨激勵頻率 變化的特性。

 

盡管頻率響應函數是對簡諧激勵而言的，但是任何信號都可分解成簡諧信號的疊加。因而在任何復雜信號輸入下，系統頻率特性也是適用的。這時，幅頻、相頻特性分別表征系統對輸入信號中各個頻率分量幅值的縮放能力和相位角前后移動的能力。

 

圖形表示

1. 幅頻特性曲線和相頻特性曲線

以   為自變量，以  和  為因變量畫出的曲線   曲線和  曲線分別稱為系統的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。它表示輸出與輸入的幅值比和相位差隨頻率   的變化關系。

 

2. 伯德圖(Bode圖)

對自變量  取對數  作為橫坐標，以  和  作縱坐標，畫出的曲線，即作 和  曲線，兩者分別稱為對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線，總稱為伯德圖(Bode圖)。它把  軸按對數進行了壓縮，便於對較寬范圍的信號進行研究，觀察起來一目了然，繪制容易，使用方便。

 

3. Nyquist圖

曲線  和  分別稱為系統的實頻特性和虛頻特性曲線。如果將  的虛部和實部分別作為縱、橫坐標，則曲線  稱為奈魁斯特圖(Nyquist圖)．它反映了頻率變化過程中系統響應  的變化。

相干函數

 相干函數(coherency function)亦稱簡稱相干.指兩過程在各頻率上分量間的線性相關程度。

 

相干函數是檢查輸出與輸入的相干關系，也就是說我們測到的輸出是不是完全由輸入引起的，一點外來的干擾因素也沒有，如果是，則相干函數恆等於1，否則要小於1，小得越多，外干擾越大，等於0了，一點干系也沒有了。

 

相干函數可用於評定頻響函數估計的可信度，它表示在頻域內總輸出中真正輸入信號產生的輸出所占的比例。

 

如果相干函數為零,表示輸出信號與輸入信號不相干，那么，當相干函數為1時，表示輸出信號與輸入信號完全相干。若相干函數在0~1之間，則表明有如下三種可能： (1）測試中有外界噪聲干擾； (2）輸出y(t)是輸入x(t)和其它輸入的綜合輸出； (3）聯系x(t)和y(t)的線性系統是非線性的。

 

 

MATLAB計算

 

% https://www.mathworks.com/help/signal/ref/tfestimate.html
% [txy,f] = tfestimate(x,y,window,noverlap,f,fs)
tfestimate(ch1,ch2,hanning(1024),1024/2,[],Fs); % 計算傳遞函數
% [Txy,f] = tfestimate(ch1,ch2,hanning(1024),1024/2,[],Fs);
% plot(f,mag2db(abs(Txy)))
xlim([20 140])

 

% https://www.mathworks.com/help/signal/ref/mscohere.html
% [cxy,f] = mscohere(x,y,window,noverlap,f,fs)
mscohere(ch1, ch2, hanning(1024),1024/2, [], Fs)
% [cxy,f] = mscohere(ch1, ch2, hanning(1024),1024/2, [], Fs); 
% plot(f, cxy)
xlim([20 140])