[數學基礎]奇異值分解SVD

　　之前看到過很多次奇異值分解這個概念，但我確實沒有學過。大學線性代數課教的就是坨屎，我也沒怎么去上課，后來查了點資料算是搞清楚了，現在寫點東西總結一下。

　　奇異值分解，就是把一個矩陣拆成一組矩陣之和。在數學里面，因式分解，泰勒展開，傅里葉展開，特征值分解，奇異值分解都是這個路數。就是把當前數據表示成一組某種意義下互相獨立的數據疊加的形式。目的在於簡化計算處理或舍棄次要信息。

　　　　　　　　　　數學表達：或

　　其中系數是每一項的奇異值，u，v是列向量，可以發現每一項的都是秩為一的矩陣，我們人為假定。跟矩陣特征值分解在形式上還是有很大相似之處的。

　　每個矩陣都可以表示成多個秩為一的矩陣的和，而每一項前的系數也就是奇異值的大小反映了這一項相對於A的權重大小。

　　然后說一下SVD的物理應用，主要舉例圖像壓縮與圖像去噪。

　　圖像壓縮，即適當降低圖像精度，假設矩陣A表示了目標圖片，對A作SVD分解，那么我們把A的分解式末端權重較小的部分舍棄(或者說只保留前面權重大的若干項)，那么這張圖片所需存儲量便大大降低了，進而達到了圖像壓縮。

　　圖像去噪，如果一副圖像包含噪聲，我們有理由相信那些較小的奇異值就是由噪聲引起的。例如圖像矩陣A奇異值分解后得到的奇異值為：15.29，7.33，5.23，4.16，0.24，0.03。最后兩項相對於前面幾項權重太小了，把它們舍掉，便直觀地看出圖像噪聲減少了。